Scritto: Venerdì, 22 Marzo 2019 16:16 Ultima modifica: Giovedì, 13 Giugno 2019 12:48

Vita di Pi


 Prendendo spunto dal nuovo record di 31.4 trilioni di decimali calcolati, ripercorriamo la storia del calcolo della più famosa costante matematica.

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Immagine artistica che mostra principio e fine delle cifre decimali appena calcolate, scritte su una lavagna lunga quanto l'orbita terrestre (gli oggetti celesti non in scala) Immagine artistica che mostra principio e fine delle cifre decimali appena calcolate, scritte su una lavagna lunga quanto l'orbita terrestre (gli oggetti celesti non in scala) Autore: Marco Di Lorenzo

 La costante matematica più antica e più famosa è certamente quella indicata dalla lettera π dell'alfabeto greco (iniziale dal termine "perimetros" che vuol dire circonferenza). Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro di un cerchio ha sempre affascinato gli esseri umani e, da quando si sa che è un numero irrazionale1 con infiniti decimali che mai si ripetono, il suo calcolo è stato una sfida continua, a volte quasi una nevrosi patologica!

 Storicamente, il primo a tentare di misurarne il valore tramite la “quadratura del cerchio” fu Anassagora nel 434 AC, senza peraltro riuscirci. Due secoli dopo, il grande Archimede riuscì a fornire un valore abbastanza preciso, utilizzando poligoni inscritti e circoscritti al cerchio; egli dimostrò che π doveva cadere tra 223/71 e 22/7 (ovvero tra 3,1408 e 3,1429 circa) e fornendo, di fatto, 2 cifre decimali corrette. Bisognerà aspettare altri quattro secoli per avere, grazie a Tolomeo, un'approssimazione con quasi quattro cifre significative corrette (377/120~3,14167) mentre, durante il medioevo, lo scettro passerà ai cinesi che, in due occasioni, arriveranno a elencare ben 7 decimali corretti.

 Arriviamo al rinascimento e, mentre i matematici indiani scoprono con ampio anticipo la potenza delle serie numeriche (giungendo a calcolare 11 cifre corrette), in occidente il matematico tedesco-olandese Van Ceulen, usando il vecchio metodo di Archimede, dedica gran parte della sua vita a calcolare 32 cifre esatte di π, poi riportate sulla sua lapide.

VanCeulen lapide

Le cifre di π (espresse come frazione decimale) calcolate da Van Ceulen. - Copyright: Karen Aardal. All rights reserved

 Il “secolo dei lumi” porta alle succitate serie matematiche, somme di infiniti termini che convergono verso il valore esatto di π. La prima di esse è quella Leibniz, ricavata dallo sviluppo in serie della funzione “arcotangente”:

π/4 = 1- 1/3 + 1/5 -1/7 + … = Σk (-1)k (2k+1)-1

 A questo punto, senza ricorrere a complesse costruzioni geometriche ma solo tramite laboriosi calcoli fatti a mano applicando tali formule, era possibile calcolarne il valore con precisione crescente, a patto di fare un numero elevato di iterazioni con sufficiente precisione numerica; in questo senso, a dire il vero, la formula di Leibniz non è molto efficace poiché converge al valore esatto molto lentamente e, per avere solo 9 cifre decimali esatte, bisognerebbe sommare mezzo miliardo di termini, cosa ovviamente impossibile da fare a mano!2 Esistono tuttavia altre formule, derivate da essa, molto più rapide e praticabili; una di esse è lo sviluppo trigonometrico di Machin, con il quale venne raggiunta la pietra miliare di 100 cifre nel 1706 e anche quella di 1000 cifre nel 1949, a opera di Ferguson con l'ausilio di una calcolatrice da tavolo.

Trend

Progressi nel numero di cifre corrette calcolate fin dall'antichità (scala verticale logaritmica, scala orizzontale non uniforme) - Autore: Nageh - licensed under the Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported license. - Processed by Marco Di Lorenzo

 In tempi moderni, l'avvento di computer di potenza esponenzialmente crescente, insieme alla scoperta di formule sempre più efficienti, ha provocato una vertiginosa accelerazione nell'aumento di cifre note, come illustrato qui sopra. I record che hanno infranto altre potenze di 10 vennero stabiliti, rispettivamente, nel 1958 (104 ), 1962 (105 ), 1973 (106 ), 1983 (107 ), 1987 (108 ), 1989 (109 ), 1997 (1010 ), nel 1999 (1011 ), nel 2002 (1012 ) e nel 2011 (1013 ).

 Va detto che, da tempo, la corsa si è ridotta a un puro divertimento numerico, oppure a competizione da guiness dei primati; essa è anche un banco di prova per testare la potenza di nuovi computer. Infatti, conoscere migliaia, milioni o addirittura miliardi e migliaia di miliardi di cifre decimali non ha alcuna utilità pratica dato che, anche nelle applicazioni più precise (come la navigazione interplanetaria), non ci si spinge mai oltre le 15 cifre significative; del resto, a elevati livelli di precisione anche il significato geometrico viene meno perché il valore effettivo di π cambia se la geometria non è euclidea ed Einstein ci insegna che lo spazio-tempo non vuoto in cui viviamo è curvo cioè non euclideo!3

I moderni algoritmi si basano sulla serie scoperta dal geniale matematico indiano Ramanujan nel 1910:

Ramanujan

 Da essa, i fratelli Chudnovsky ricavarono una formula ancora più efficiente nel 1988 e la usarono per stabilire il record di 4 miliardi di cifre nel 19944; essa è anche alla base di tutti i record successivi:

Chudowsky

 Esiste inoltre un'altra importante formula, ideata da Fabrice Bellard nel 1997 e che permette di ricavare il valore esadecimale di una qualsiasi cifra decimale senza dover calcolare l'intera sequenza:

Bellard

 Con essa, è stato possibile verificare, nell'abito del progetto in rete Pi-Hex, che la cifra numero 1015 (ben oltre il record di calcolo completo attuale) è uno zero. Questa capacità la rende perfetta come strumento di verifica per i calcoli effettuati con l'altro metodo (Chudnovsky) senza dover impiegare un tempo troppo lungo.

 In occasione dell'ultimo “Pi day” (che si festeggia alla data del 14 Marzo, 3/14 in formato anglosassone5) è stato fatto un clamoroso annuncio: Emma Haruka Iwao, utilizzando i server di Google (l'azienda per cui lavora) è riuscita a calcolare oltre 31 mila miliardi di cifre decimali di π. Per farlo, ha utilizzato l'ormai celebre software “Y-cruncher”, creato da un altro cinese naturalizzato americano, Alexander J. Yee, e lo ha fatto girare per 4 mesi utilizzando una memoria totale di ben 240 TB, peraltro non su Hard Disk ma, per la prima volta nella storia, usando esclusivamente memorie a stato solido SSD10. Sia la data dell'annuncio, sia il numero di cifre calcolate non sono affatto casuali: si tratta infatti di π·1013 decimali, sebbene arrotondati per difetto. Questo nuovo record polverizza il precedente, stabilito nel Novembre 2016 da Peter Trueb (22,46 ovvero πe trilioni di cifre) sempre utilizzando Y-cruncher.

 Quante sono 31,4 trilioni di cifre decimali? Per dare qualche idea, scriverle in fila richiederebbe una lavagna lunga quanto l'orbita della Terra11 (vedi immagine in apertura) mentre, per stamparle, ci vorrebbero oltre 3 milioni di volumi, capaci di riempire un'enorme biblioteca grande quanto un isolato12. A pronunciarle una dopo l'altra, ci vorrebbe un milione d'anni13 mentre, a mandarle a memoria, ogni essere umano dovrebbe impararne oltre 400014.

Quest'ultimo record è il sesto consecutivo basato su Y-cruncher, che peraltro è un programma liberamente scaricabile dalla rete11; essi si sono susseguiti ad un ritmo medio di uno ogni 20 mesi.

LastTrend

Record di calcolo di π ottenuti con Y-cruncher, con una funzione esponenziale che li interpola (equazione in alto); in rosso l'ultimo record, il quadrato vuoto è invece e una possibile proiezione sul prossimo record – Fonte: A.J.Yee – Plot interpolation: Marco Di Lorenzo

 Nel grafico qui sopra, sono riportati tali record nel tempo e, estrapolando l'andamento, è prevedibile che il prossimo annuncio cadrà intorno ai 45 trilioni di decimali (estate 2020) e poi circa il doppio del record attuale nella primavera del 2022 (potrebbe essere proprio il Pi-day a 3 anni dall'ultimo); per infrangere la barriera dei 1014 decimali, bisognerà aspettare fino al 2024; in quella occasione, sarà necessario utilizzare uno storage vicino a 1 PB!

Tutto questo, però, a patto di risolvere un paio di seri problemi tecnologici evidenziati dallo stesso Yee:

  • Nel corso del calcolo degli ultimi due record, il programma è incappato in un enigmatico “Silent Hardware Error“, un tipo di errore non evidente e dalle cause incerte, che può propagarsi e corrompere le cifre del risultato. Il software è dotato di sistemi di rilevazione di errori che, in quei casi, hanno permesso di fermare e ricominciare il calcolo corretto, evitando di buttare via tutto il lavoro svolto; tuttavia, non c'è garanzia assoluta che questo possa avvenire in futuro.
  • Il vero collo di bottiglia nel calcolo di π è sempre più legato alla “larghezza di banda”, ovvero alla rapidità nel leggere/scrivere i dati in memoria; nell'ultimo record, addirittura, la CPU è stata realmente usata solo per il 12,2% del tempo. Usando memorie, dischi e soprattutto reti molto più veloci (per ora non disponibili sul mercato dei server) il tempo di calcolo si sarebbe potuto ridurre a soli 15 giorni complessivi. Sulla base di quanto riferito sopra e sapendo che il software ha ormai raggiunto limiti oggettivi di ottimizzazione nella gestione delle memorie, l'ottenimento di nuovi record in tempi ragionevoli non è semplicemente legato ad un aumento dello spazio di storage ma richiederà la commercializzazione di reti molto più veloci delle attuali (almeno 1 ordine di grandezza in più, ovvero 18 GB/s), dischi o SSD da 3 a 20 volte più rapidi e RAM da 1,5 a 3 volte più veloci.

 Per concludere, ecco una interessante tabella che ho compilato, con alcune sequenze di decimali estratte dall'ultimo calcolo effettuato12.

 Pi sampled2

Data Source: http://www.numberworld.org/y-cruncher/ - Layout: Marco Di Lorenzo

 

Note a piè pagina

1: La dimostrazione dell'irrazionalità di π risale a A.M.Legendre (1794).

2: La rapidità con cui la serie di Leibniz converge al valore di π viene espressa come O(n), nel senso che l'errore è inversamente proporzionale al numero di iterazioni n; per confronto, le moderne serie di Ramanujan e Chudnovsky convergono come O( n·log(n)3 ).

3: Più precisamente, nelle geometrie di Riemann e Poincaré, il rapporto circonferenza/diametro risulta maggiore di π se la curvatura è negativa (superficie “a sella”) e < π se positiva (sfera). Ad esempio, nel caso della superficie terrestre (approssimativamente sferica) la lunghezza di una circonferenza disegnata attorno al Polo Nord è circa 3,14 volte il diametro solo se il cerchio è piccolo mentre, scendendo di latitudine, il rapporto diminuisce e all'equatore vale 2 (il rapporto tra la lunghezza delle'equatore e quella di un meridiano).

4: I due fratelli costruirono un computer dedicato nel loro appartamento di NewYork per applicare la loro formula ed ottenere due record (non verificati) nei primi anni '90.

5: Noi popoli più razionali dovremmo festeggiare la data del 31 Aprile che, purtroppo, non esiste sul calendario...

6: Per gli amanti dell'informatica, i dati tecnici relativi al calcolo sono i seguenti (non tutti i dettagli dell'hardware sono stati resi pubblici):

  • Calcolo principale avvenuto dal 22/9/2018 al 21/1/2019 (121,1 giorni, di cui 111,8 di calcolo vero e proprio).
  • Software utilizzato: y-cruncher v0.7.6, basato sulla formula/algoritmo di Chudnowsky ottimizzato, con 2,215 miliardi di termini.
  • Impiegato un nodo primario del server commerciale “Google Cloud” con sistema operativo “Windows Server 2016”.
  • Il nodo contiene due processori “Skylake Xeon” con comandi AVX512, un totale di 96 cores a 2,0 GHz, 1.4TB di RAM.
  • Lo storage locale era 30TB su SSD mentre la memoria complessiva era affidata a 24 nodi più piccoli, ciascuno da 16 cores, 60GB di RAM e 10TB di SSD.
  • La verifica ha richiesto 48 ore su un Intel I9 “overclockato” a 3,5GHz, 128 GB di RAM e 2,5 TB di storage.
  • Duplice verifica effettuata usando le formule di Bellard (a 7 e 4 termini).
  • Ulteriore “spot check” finale, effettuato confrontando, a campione, i risultati col precedente calcolo di Peter Trueb (22.4 trilioni di cifre).

7: Con una spaziatura tra i caratteri di 3 cm, infatti, la lunghezza complessiva risulterebbe di 940 milioni di km cioè 2π unità astronomiche.

8: Usando caratteri piccoli ma leggibili, spaziati di 1,5x2 mm, si possono stampare 10000 cifre su una pagina A4 e 10 milioni di cifre in un volume di 1000 pagine, largo circa 10 cm. I volumi, posti verticalmente su 10 ripiani, richiederebbero uno scaffale alto più di 3 metri, lungo circa 32 km e con una base di 7500 m2 (che diventano 10000 m2 disponendo i volumi orizzontalmente, per risparmiare in altezza); tale superficie, naturalmente, va perlomeno triplicata per consentire un comodo accesso ai volumi (a meno di non ricorrere a un complesso sistema di scaffali scorrevoli ad alta densità); questo porta a una occupazione vicina a 1 ettaro con un edificio alto 2 o 3 piani.

9: Questo è il tempo richiesto ad un individo che pronuncia, in media, 2 cifre al secondo (comprese le pause per prendere il respiro), dedicando 12 ore al giorno a questa attività; è ovvio che questa impresa impossibile andrebbe in realtà ripartita tra molti individui, ad esempio 1 milione di persone che dedicano a questa attività un intero anno.

10: Per la precisione 4080 cifre a persona, data la popolazione attuale di quasi 7,7 miliardi di individui (compresi i neoneati). Come riferimento, il record di memorizzazione appartiene all'americano di origine cinese Lü Chao che, nel 2014, ha recitato 67890 cifre esatte; il sottoscritto, in giovinezza, ne aveva memorizzate 50 ma ora ne rammenta solo la metà o poco più...

11: Anche il sottoscritto lo ha utilizzato qualche anno fa per calcolare, con il proprio PC, 20 miliardi di decimali di π in circa 3 giorni, salvandoli poi su un HDD da 8 GB in formato compresso. Lo stesso software permette di calcolare molte altre costanti matematiche irrazionali come e (numero di Nepero), la costante di Eulero-Mascheroni, il rapporto aureo, alcuni valori delle funzioni Gamma e Zeta e il logaritmo o la radice quadrata di 2,3 e 10.

12: Gli spezzoni riportati si possono considerare unici, dal momento che la probabilità di ottentere casualmente una identica sequenza di 50 decimali è pari a 3,14·1013·10-50=3,14·10-37

 

Riferimenti:

http://www.numberworld.org/y-cruncher/

http://www.ams.org/publicoutreach/math-history/hap-6-pi.pdf

https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud

https://pi2e.ch/blog/2017/03/10/pi-digits-download/#inspirations

https://www.pi2e.ch/

https://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80

https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Sato_series

https://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm

https://en.wikipedia.org/wiki/Bellard%27s_formula

https://web.archive.org/web/20060804212241/http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/pihex/

Altre informazioni su questo articolo

Read 230 times Ultima modifica Giovedì, 13 Giugno 2019 12:48
Marco Di Lorenzo (DILO)

Sono laureato in Fisica e insegno questa materia nelle scuole superiori; in passato ho lavorato nel campo dei semiconduttori e dei sensori d'immagine. Appassionato di astronautica e astronomia fin da ragazzo, ho continuato a coltivare queste passioni sul web, elaborando e pubblicando numerose immagini insieme al collega Ken Kremer. E naturalmente amo la fantascienza e la fotografia!

https://www.facebook.com/marco.lorenzo.58 | Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo.

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