Martedì 21 Novembre 2017
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Dadi e solidi platonici: 5a parte (Dodecaedri)

Ben ritrovati a tutti voi. È passato un po’ di tempo dall’ultimo articolo sui solidi platonici, quello relativo agli ottaedri. Andiamo allora avanti, per occuparci dei dodecaedri regolari.

[articolo trasposto su questo blog da Marco Di Lorenzo]

Cosa siano i dodecaedri lo abbiamo già visto, ma per conoscerli un po’ più nel dettaglio, dovremmo fornire almeno un metodo di costruzione del solido con le coordinate esatte dei vertici, oppure dei centri delle facce e delle direzioni dei vettori ad esse normali o qualcosa di equivalente.

Iniziamo dal principio. Come prima cosa mostriamo un’immagine di un dodecaedro regolare ed iniziamo semplicemente descrivendolo. Fatta una figura al volo con PoV-ray, ve la mostro:

12a

 Quello che già sappiamo è che il solido ha 12 facce, in questo caso dei pentagoni regolari. Per forza di cose nei vertici si incontrano tre pentagoni, l’unico numero ad essi consentito. Di conseguenza i vertici sono necessariamente 20, infatti 12 facce con 5 vertici ognuna darebbero un totale di 60 vertici se fossero separate, invece qui essi coincidono a tre a tre.

 Un analogo calcolo ci fornisce il numero di spigoli, pari a 30, infatti 12 × 5 = 60, che stavolta vanno divisi per 2, naturalmente. Ancora una volta possiamo verificare l’esattezza della relazione di Eulero: F + V - S = 2

 E fin qui tutto semplice. Ma cerchiamo di entrare nei dettagli. Innanzitutto, come si costruisce un dodecaedro? Non intendo fisicamente, nel senso di farne uno di carta, quello è semplice, basta fare dodici pentagoni uguali ed incollarli insieme. Anche se poi non è proprio banale nemmeno questo. Ma al giorno d’oggi è tutto più semplice. Basta andare su Internet, cercare un’immagine dello sviluppo del dodecaedro, stamparla, ritagliarla e il più è fatto.

 Più complessa la questione su quali siano le coordinate dei 20 vertici, una volta stabiliti l’orientamento del solido nello spazio e la misura di uno dei suoi elementi a scelta, come lo spigolo oppure il raggio della sfera circoscritta. Perché è così importante? Perché senza queste informazioni non posso realizzare i dodecaedri arrotondati con PoV-Ray, ecco perché! E nemmeno quelli semplici, se è per questo... Scherzi a parte, andiamo avanti. Ho trovato un sistema per ottenere lo scopo e vorrei illustrarlo, anche se comporta calcoli piuttosto lunghi.

 Posizionando il centro del dodecaedro sull’origine delle coordinate, osserviamo subito che per ognuno dei vertici c’è un corrispondente vertice con coordinate opposte, quindi con simmetria centrale. Lo stesso succede per ogni spigolo - quindi abbiamo coppie di spigoli paralleli con assi coincidenti - e per ogni faccia. In quest’ultimo caso abbiamo le facce parallele ma, osservando le due facce da un punto distante posto sulla retta ortogonale ad entrambe passante per il loro centro, osserviamo che i lati dei due pentagoni non sono allineati, ma un pentagono è ruotato di 36 gradi rispetto all’altro, cioè della metà dell’angolo occorrente per portare un lato su uno dei due adiacenti.

12b

 Per facilitare l’analisi del problema, posizioniamo due facce opposte parallele al piano Oxy e con l’asse z passante al centro delle facce. Poi immaginiamo che la dimensione del dodecaedro sia tale che ognuno dei vertici abbia distanza unitaria dall’origine, quindi esista una sfera di raggio unitario e centro sull’origine che passi su tutti i 20 vertici. Infine ruotiamo attorno all’asse z il dodecaedro in modo tale che uno dei cinque vertici della faccia superiore sia posizionato sopra l’asse x, ovvero abbia coordinata y uguale a zero. L’immagine in alto potrà chiarire meglio e semplificare la comprensione.

 Il passo successivo consiste nel considerare la disposizione dei cinque vertici della faccia superiore. Essi  naturalmente giacciono su una circonferenza il cui centro coincide col punto di intersezione tra faccia ed asse z, mentre i loro angoli di Azimut (sul piano Oxy rispetto all’asse x) sono i multipli di 72°, con il primo vertice con Azimut 0 che è quello che vediamo in basso a sinistra sulla circonferenza azzurra, situato infatti direttamente sopra l’asse x. Tutto ciò è mostrato nella immagine a sinistra qui sotto.

12cd

 Consideriamo ora i successivi cinque vertici, posti, per così dire, direttamente “al di sotto” di quelli appena visti, anche se in una circonferenza di raggio un po’ più grande, come vediamo nell’immagine a destra. Questi cinque vertici hanno gli stessi angoli di Azimut che avevano i primi cinque.

 Una volta considerati questi vertici e trovate le loro coordinate, il problema è risolto, dal momento che tutti i rimanenti sono accoppiati con questi dieci, con coordinate uguali in modulo e segno opposto. Da ciò deriva immediatamente che i valori di z delle due circonferenze rimanenti sono quelli delle prime due, ma col segno meno e che gli angoli di Azimut dei vertici sono i multipli di 72° aumentati di 36°.

 Quanto finora visto ci aiuta molto, ma non risolve ancora il problema, dato che mancano ancora quattro valori da determinare: i raggi delle due circonferenze e le loro coordinate z. In realtà i valori dei raggi e della coordinata z sono strettamente correlati, quindi occorrono solo quelli dei primi due (o solo delle ultime due). Per ottenerli dobbiamo adesso affrontare la parte difficile, ovvero la scrittura e la risoluzione di opportune equazioni, utilizzando le proprietà del dodecaedro, ad esempio l’uguaglianza della lunghezza di tutti gli spigoli e della distanza di tutti i vertici dall’origine.

 Prima di continuare, penso che convenga affrontare propedeuticamente i calcoli relativi al solo pentagono regolare, inscritto nella circonferenza unitaria con uno dei vertici sul semiasse x positivo, come mostrato nella figura qui sotto.

12e 

 Il punto P0 ha chiaramente coordinate <1,0>. Chiamando A l’incognita rappresentante l’ascissa del punto P1, possiamo facilmente ricavare le coordinate degli altri quattro punti con semplici calcoli:

 12f1

Per determinare il valore di A imponiamo l’uguaglianza tra le lunghezze dei segmenti P0 -P1 e P1 -P2: 

12f2b

 E così abbiamo determinato il valore di A, che risulta essere pari a (-1+√5)/4, ovvero la metà esatta di φ, il famoso rapporto aureo. Non ne abbiamo parlato e mi piacerebbe tanto farlo, ma questo ci porterebbe un po’ troppo lontano. Consiglio coloro che non lo conoscessero di fare qualche ricerca, troverete tantissime cose interessanti, soprattutto nel campo dell’arte, dell’architettura e della natura per le proporzioni di parti del corpo sia di piante che di animali, e non solo. Tra l’altro, pentagoni, dodecaedri e icosaedri sono miniere di rapporti aurei...

 Ma torniamo a noi. Partendo dal valore di A ricaviamo tutte le coordinate dei 5 vertici del pentagono:

12f3

 Prima di continuare, ci occorre calcolare le seguenti quantità:

- lunghezza dei lati del pentagono: √((5-√5)/2)

- lunghezza delle diagonali del pentagono: √((5+√5)/2)

- rapporto lunghezza delle diagonali/lunghezza dei lati: (√5+1)/2

Ed ora... ci tocca il dodecaedro.

Riprendiamo la figura che abbiamo già visto, dopo aver contrassegnato i suoi vertici.

12f

Chiamiamo B il valore della z dei 5 punti in alto, quelli da P0 a P4, per cui il raggio R1 della circonferenza in cui è inscritto questo pentagono sarà pari a 

12f4

Analogamente, chiamiamo C la coordinata z dei 5 punti immediatamente al di sotto, quelli da Q0 a Q4, il che implica che il raggio del cerchio passante per essi sarà 

12f5

 Con questo e con l’ausilio dei calcoli effettuati per il pentagono, possiamo scrivere le coordinate dei punti Q0, Qed  S3:

 12f6

Per determinare il valore di C, basta calcolare il quadrato della lunghezza dei segmenti Q0-Q1, Q0-S3 e tener conto del fatto che, mentre il primo è una diagonale, il secondo è un lato del pentagono P0Q0S3Q1P1P0, per cui conosciamo il rapporto tra le loro lunghezze.

12f7

 E una è sistemata! Resta ancora l'altra, ovvero B. Per ottenere il suo valore, utilizziamo il calcolo della lunghezza dello spigolo del pentagono che abbiamo ricavato prima e usiamola per calcolare in funzione di B il quadrato della lunghezza del segmento P0-P1:

12f8

dove naturalmente il primo fattore è dovuto al raggio R1. Ma notiamo che prima avevamo calcolato in funzione di C il quadrato della lunghezza del segmento Q0-S3, e ora possiamo esplicitarla:

12f9

E ora non resta che uguagliare queste due quantità:

12f10

Notare la graziosa simmetria tra queste espressioni e quelle di C ed R2.

Con questo il problema è completamente risolto e abbiamo ottenuto tutte le coordinate dei 20 vertici del dodecaedro inscritto nella sfera unitaria senza nemmeno utilizzare le funzioni seno e coseno.

12f11 

Una veloce implementazione su PoV-Ray di questi valori, ci permette di ottenere una verifica, che possiamo osservare nella figura qui sotto... Non possiamo davvero lamentarci!

12g

 Una disposizione particolare del dodecaedro si ottiene con un’opportuna rotazione attorno all’asse y. Se consideriamo il segmento P0-Q0, come già visto giace sul piano Oxz, ovvero per tutti i suoi punti la y vale 0. Consideriamo quindi la semiretta che parte dall’origine e passa per il punto medio del segmento, come vediamo nella figura seguente.

12h

L’angolo di rotazione deve essere tale da portare la semiretta (bianca) sull’asse x (rosso). Facendo i conti viene fuori che la pendenza della semiretta è proprio pari ancora una volta a 

12f12e

quindi l'angolo di rotazione sarà l'arcotangente di tale valore. Con questa rotazione, il dodecaedro si presenta come nell'immagine seguente:

12i

possiamo vedere che, tra i 20 vertici del dodecaedro, ce ne sono 12 disposti a coppie in segmenti paralleli agli assi. Nella figura sono evidenziati in rosso i vertici e gli spigoli che li collegano paralleli all’asse x, in verde quelli degli spigoli paralleli all’asse y e in blu quelli paralleli all’asse z.

Ulteriore fatto notevole: gli 8 vertici rimanenti giacciono sulle semirette che passano “al centro”, per così dire, di ognuno degli ottanti. Ad esempio quello evidenziato con una sferetta più grossa è quello dell’ottante con tutte le coordinate positive. Quindi ognuno di questi vertici ha coordinate della forma <±a,±a,±a>. Sapete già cosa vuol dire, vero? Che questi 8 vertici sono i vertici... di un cubo! Detto fatto, nell’ultima immagine facciamo vedere questo cubo. Quale sarà la sua grandezza? Semplice, come si vede benissimo, lo spigolo del cubo è pari alla lunghezza delle diagonali delle facce del dodecaedro, che abbiamo calcolato prima, si deve solo moltiplicare per il valore R1.

12j

Bene, penso che a questo punto possiamo anche accontentarci e chiudere qui il discorso sui dodecaedri, anche se chissà quante altre cose avremmo potuto trovare, ma magari se ne riparlerà in futuro, chi può dirlo?

Ciao.

12f13

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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