Martedì 21 Novembre 2017
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La rappresentazione di numeri irrazionali tramite le frazioni continue

Le frazioni continue sono uno strumento potente per rappresentare i numeri irrazionali fornendo le loro migliori approssimazioni razionali.

 In un precedente articolo ho mostrato come rappresentare il numero irrazionale π (pi-greco) tramite una serie di frazioni con precisione crescente. In quella occasione  l'approccio  fu  di utilizzare la "forza  bruta" nel cercare tutte le possibili combinazioni razionali, filtrandole poi opportunamente per selezionare solo quelle sensibilmente migliori delle precedenti.

 Esiste in realtà un metodo più efficace per identificare ed esprimere le approssimazioni razionali di qualsiasi numero irrazionale x, si tratta delle cosiddette frazioni continue e in particolare di quelle definite semplici, rappresentate da una sequenza infinita di coefficienti interi che sono in realtà i denominatori di una frazione "annidata" nel modo seguente:

 x = a0 + ( a1 + ( a2 + ( a3 + ... )-1 )-1 )-1

 Anche se l'espressione esatta contiene infiniti termini o denominatori, troncandola fino ad un livello an arbitrario si ottiene un'ottima approssimazione di x. Ricavare i vari coefficienti ai è molto facile: basta calcolare la differenza della frazione precedente (chiamata "convergenza") dal valore esatto e farne l'inverso, arrotondando il risultato per difetto. Questo fornisce il termine a successivo.

 Applicazione a π

 Nel caso di π, quasi tutti i valori ottimali trovati con il precedente approccio di "forza bruta" corrispondono ai primi 17 termini della successione, come illustrato nella tabella seguente; nella tabella è stata inserita anche la riga con n=-1 poiché questo termine è utile quando si applica la seguente formula ricorsiva per calcolare lo sviluppo delle frazioni consecutive Fn:

Fn = Nn / Dn = ( an Nn-1 + Nn-2 ) / ( an Dn-1 + Dn-2 )

Di seguito la tabella con i primi 26 termini della successione (per il significato di "fattore di merito" si rimanda all'articolo precedente):

FCS table

Lo sfondo grigio indica i valori per il cui calcolo è stato necessario ricorrere al Big Online Calculator in quanto la doppia precisione è insufficiente. Lo sfondo verde chiaro indica invece valori "nuovi" che non erano riportati nell'articolo precedente e di seguito c'è anche il grafico aggiornato della precisione delle approssimazioni al crescere del denominatore.

FCS Error 

 Anche se la frazione continua costituisce un metodo indipendente dalla base del sistema numerico utilizzato, si può notare come ad ogni iterazione la precisione aumenti di circa un ordine di grandezza in media; infatti, il coefficiente ≈2.2 della x nell'interpolazione esponenziale corrisponde a una riduzione di circa 9 volte ad ogni iterazione. Una osservazione molto interessante riguarda poi il cosiddetto "fattore di merito" (ultima colonna nella tabella) che avevo definito come 1/(|errore|·denom.2) e che risulta essere molto vicino al valore del coefficiente ai successivo.

 Guardando i valori "nuovi" sulla tabella, si vede che la mia congettura sull'assenza di ulteriori frazioni notevoli come quella di Zu Chongzhi (355/113) era, solo in parte, sbagliata.  In effetti, al ventunesimo posto troviamo un valore elevato di a, pari a 85. Questo implica una convergenza notevole alla riga precedente, ovvero:

F20 = 21053343141 / 6701487259 ≈ 3.14159265358979323846238

 Questa frazione contiene in totale 21 cifre e fornisce altrettante cifre significative corrette, dunque non c'è un effettivo vantaggio rispetto alla rappresentazione decimale. Come vedremo, tutte le convergenze notevoli successive sono addirittura svantaggiose, perciò da questo punto di vista  il primato di 355/113 rimane effettivamente imbattuto.

Anche se bisogna spingersi molto in là con il valore di n, il record  stabilito con a(4)=292 viene poi infranto con a(307)=436; quest'ultima è una frazione che non ha molto senso scrivere, poichè il numero di cifre che compongono il numeratore e il denominatore supera complessivamente le 300; il valore approssimativo della convergenza notevole ad esso associato è infatti:

F306 ≈ 4,745·10154 / 1,510·10154

Nell'immagine sottostante, questi due record vengono evidenziati rispettivamente da crocette di colore rosso e viola.

Aplot4

Ma non è finita qui! Come si vede, poco più in là, esiste un nuovo record (crocetta verde) e stavolta il valore è quasi "stellare": a(431) = 20776, una convergenza che dovrebbe essere circa uguale a:

F430 ≈ 1.902·10216 / 6.054·10215

 In pratica, però, questa frazione non è così eccezionale come sembra. Essa infatti approssima il valore di π con circa 220 cifre significative, mentre per scriverla occorrono 431 cifre decimali, dunque non c'è una gran convenienza!

 Se ci spingiamo oltre esplorando i valori fino ad a20000 (grafico sottostante), scopriamo che questo record eccezionale non viene mai superato, sebbene per n=15543 ci si avvicina parecchio (a=19055). Un'altra particolarità è che per n<3273 non appaiono valori "intermedi" con a(n) inorno a qualche migliaio (più precisamente compresi tra 621 e 20775).

Aplot3

 C'è una variante ancora più efficiente nel convergere ed è quella che sfrutta anche valori di a negativi, in analogia con gli arrotondamenti "per eccesso" o "per difetto" che si fanno normalmente sulle cifre decimali. Si tratta delle "frazioni continue esatte", sviluppate pochi anni fa dall'italiano Giovanni Artico (mi riprometto di riparlarne meglio in seguito).

Espansione di Pi-greco tramite una Frazione Continua

Frazione continua "esatta" trovata da Giovanni Artico nel 2013

 

Riferimenti:
- https://it.wikipedia.org/wiki/Frazione_continua-
http://web.math.unifi.it/users/muge/promat/diofanto/fracont.htm
-
https://oeis.org/?language=italian

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Marco Di Lorenzo (DILO)

Sono laureato in Fisica e insegno questa materia nelle scuole superiori; in passato ho lavorato nel campo dei semiconduttori e dei sensori d'immagine. Appassionato di astronautica e astronomia fin da ragazzo, ho continuato a coltivare queste passioni sul web, elaborando e pubblicando numerose immagini insieme al collega Ken Kremer. E naturalmente amo la fantascienza e la fotografia!

Sito web: https://www.facebook.com/marco.lorenzo.58
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