Lunedì 11 Dicembre 2017
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Dadi e solidi platonici: 3a parte (il cubo)

Dopo aver parlato dei dadi, torniamo di buon grado ai solidi platonici. Ed eccoci giunti a parlare del re di tutte le forme (sovrano insieme alla sfera, la regina), sua maestà il cubo.

 Tutti sappiamo cos’è un cubo, non c’è di certo bisogno di spiegarlo e, tra l’altro, lo abbiamo già presentato nel primo articolo. Però perché non parlarne? Il cubo è un solido tridimensionale, un caso speciale di parallelepipedo retto, quello che si ha quando tutti gli spigoli hanno la stessa lunghezza. A causa di questo e degli angoli retti, le facce sono naturalmente dei quadrati e gli angoli al vertice sono tutti uguali tra loro, di conseguenza il cubo è un solido platonico, uno dei cinque, ma questo ormai lo sapete bene tutti. Le facce sono 6, per questo il cubo è detto anche esaedro regolare.

 Un rapido conteggio ci informa prontamente che i vertici sono 8 e, a tal proposito, godiamo del pensiero che il generico ipercubo n-dimensionale ha esattamente 2n vertici. Lo vediamo in dettaglio più avanti. Invece gli spigoli sono 12, anche questo è semplice da vedere: 4 per il quadrato di base, 4 per il quadrato superiore e 4 spigoli verticali, uno per ogni vertice del quadrato. Questi numeri soddisfano la relazione di Eulero, che mette in relazione il numero di vertici V, il numero di spigoli S e il numero di facce F di un poliedro semplice:

F + V - S = 2

Per il cubo abbiamo infatti 6+8-12=2. Analogamente la relazione è rispettata per il tetraedro, come ben sappiamo: 4+4-6=2.

 Delle proprietà e dell’importanza della forma cubica credo che ormai ne abbiamo già parlato a sufficienza, prima tra tutte la proprietà di poter riempire lo spazio con repliche di se stesso, proprietà che solo il cubo ha, tra tutti i solidi platonici. Ma vediamo se c’è qualcos’altro di interessante a proposito.

 Una delle caratteristiche del cubo di somma importanza è il fatto che i volumi di oggetti tridimensionali possono essere calcolati approssimandoli con insiemi di cubi sempre più piccoli, in maniera analoga a come si calcolano gli integrali delle funzioni approssimandoli a insieme di rettangoli di base sempre più piccola. La stessa unità di misura del volume è il metro cubo, come della superficie è il metro quadrato e delle lunghezze il metro lineare (chiaramente nel sistema metrico). Del resto, è naturale la suddivisione dello spazio tridimensionale in cubi con l’utilizzo degli assi cartesiani ortogonali, come abbiamo visto anche nell’articolo sui dadi da 6. Ma naturalmente sono possibili anche svariati altri sistemi di coordinate, anche se gli assi cartesiani ortogonali sono più naturali e i più utilizzati.

 Così come abbiamo fatto nel caso del tetraedro, consideriamo l’analogo del cubo per spazi di dimensioni sia inferiori che superiori. La maniera più semplice è quella di procedere gradualmente iniziando dallo spazio a 0 dimensioni e aggiungerne via via una.

 Quale potrebbe essere il modo migliore di definire il generico ipercubo a n dimensioni? Non so se questa sia la definizione matematica più rigorosa, comunque è abbastanza convincente e semplice da verificare che un cubo unitario include tutti i punti dello spazio in questione per i quali tutte le coordinate abbiano valori compresi tra 0 e 1, esclusi se consideriamo l’insieme aperto, inclusi in caso contrario. Per semplicità consideriamo i valori estremi come inclusi, anche perché parleremo soprattutto di essi...

Cubi2

 Nello spazio a 0 dimensioni, come al solito, abbiamo solo un punto e la storia finisce lì. Aggiungiamo subito subito una dimensione spaziale e quindi possiamo pensare allo spazio come ad una retta, che generalmente viene denominata asse x. Immaginiamo di muovere il nostro punto (vedi Fig. 1 qui sopra), originariamente posto su... l’origine (dove la coordinata x assume valore 0) fino ad arrivare al valore 1. L’insieme dei punti toccati nel percorso è un segmento di lunghezza unitaria e con due estremi.

 Passiamo a due dimensioni, aggiungendo un asse ortogonale a quello che già abbiamo, chiaramente il nostro asse y, ottenendo un piano. Come prima (Fig. 2), muoviamo il nostro segmento dalla sua posizione originaria, dove tutti i punti hanno valore y uguale a 0, lungo l’asse y per una lunghezza unitaria, percorrendo quindi tutti i valori di y da 0 a 1. L’area spazzata dal segmento naturalmente è un quadrato unitario, con quattro vertici (i due originari più i nuovi due del segmento nella sua posizione finale) e quattro lati, ovvero uno per il segmento di partenza, uno per il segmento finale e altri due tracciati dai due punti estremi del segmento nel suo movimento.

Cubi3

 Aggiungendo una dimensione ed arrivando quindi allo spazio tridimensionale, le cose iniziano a farsi più interessanti. Come prima, il nuovo asse (z) è ortogonale a quelli già esistenti. Il quadrato che già abbiamo ha tutti i punti con z pari a 0 e naturalmente ora immaginiamo (Fig. 3) di muoverlo lungo l’asse z per una lunghezza unitaria fino a z pari a 1. Tutti i punti dello spazio toccati dal quadrato nel suo spostamento formano un cubo unitario. Il numero di vertici del cubo sarà 8, ovvero i quattro vertici iniziali del quadrato e i quattro finali. Quanti segmenti (spigoli) ci saranno?

 Naturalmente già lo sappiamo, sono 12, ma verifichiamo, così ci divertiamo un po’. Ci sono i quattro lati iniziali del quadrato, i quattro finali e ulteriori quattro generati dai vertici del quadrato durante lo spostamento ortogonale. Naturalmente qui si aggiungono all’elenco le facce del cubo, che sono 6, ovvero una per il quadrato iniziale, una per il quadrato finale e altre quattro generate dallo spostamento dei quattro lati del quadrato.

 Fin qui tutto normale, semplice e scontato. Ma ora come facciamo per andare nella quarta dimensione? Be’, proviamo semplicemente a proseguire col procedimento fin qui adottato. Aggiungiamo un asse ortogonale ai tre che già abbiamo e chiamiamolo w. Il nostro cubo in questo momento ha tutti i punti dello spazio quadridimensionale <x,y,z,w> con valori nulli di w. Immaginiamo di spostare lungo il nuovo asse il nostro cubo per una distanza unitaria, fino ad arrivare ad avere punti con la coordinata w di valore 1. La porzione di iperspazio toccata dal cubo mobile sarà un ipercubo unitario. L’ipercubo a quattro dimensioni ha anche un nome tutto suo, che è tesseratto. Sarà un caso che sia nel pentatopo che nel tesseratto ci sia il nome di un roditore? Bah, chi può dirlo?

 Procediamo con il conteggio degli elementi del tesseratto. Naturalmente i vertici sono 16, otto del cubo iniziale e otto del cubo finale. Quanti saranno gli spigoli? Non lo ricordo a memoria, ma lo ricavo subito: 12 del cubo iniziale, altrettanti per quello finale e in più altri 8 generati dai vertici del cubo nello spostamento lungo w, per un totale di 32. Le facce quadrate saranno 24, cioè le 6 iniziali, le 6 finali e altre 12 generate dagli spigoli del cubo nello spostamento. Quanti cubi ci saranno? Eh sì, perché ora naturalmente si aggiungono anche essi all’elenco, dato che siamo nello spazio a quattro dimensioni. Abbiamo dunque un cubo iniziale, un cubo finale e altri 6 cubi generati dallo spostamento di ognuna delle facce del cubo lungo l’asse w, che è ortogonale ad ognuna di esse... strano, vero? Del resto è così. L’asse w è ortogonale ad ognuna delle facce così come l’asse z è ortogonale ad ognuno dei quattro lati del quadrato sul piano xy. Quindi abbiamo 8 cubi in totale.

 A questo punto possiamo riempire la nostra cara tabella, come facemmo tanto tempo fa nel caso del tetraedro, che elenca il numero di elementi di ogni tipo per il generico ipercubo a n dimensioni. Ad esempio, il tesseratto (n=4) ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 quadrati, 8 cubi e 1 tesseratto. Qui con C5 e C6 indico gli ipercubi a 5 e 6 dimensioni.

Cubi4

 Come si compila la tabella? Naturalmente a nessuno sarà sfuggito in quale modo abbiamo di volta in volta calcolato quanti elementi di ogni tipo si ottengono passando dalla dimensione inferiore a quella in esame. Ad esempio passando da 3 a 4 dimensioni, quante facce quadrate abbiamo? 24, ma come si ottiene? Il doppio del 6 che c’è sopra (quadrati del cubo) più il 12 che c’è a sinistra (spigoli del cubo). Ogni cella della tabella contiene un valore pari al doppio della casella subito sopra più il valore di quella sopra e una posizione a sinistra. Naturalmente consideriamo anche che nella diagonale della tabella abbiamo tutti 1. Il motivo si intuisce abbastanza facilmente. Per questo la prima colonna contiene le potenze di 2, in quanto a sinistra non abbiamo valori (la colonna n non conta), quindi ogni casella è sempre il doppio di quella sopra.

 Dobbiamo ora dare una rappresentazione di un ipercubo. Naturalmente ormai già sapete che quella che fornirò sarà un’immagine che mostra non un ipercubo, ma la proiezione di un ipercubo nello spazio tridimensionale, a sua volta proiettata sullo spazio bidimensionale, per forza di cose. E se ormai avete fatto il callo al concetto di analogia, non dovrebbe essere nemmeno troppo difficile immaginarselo senza guardare la figura. Sì, lo so, sono sempre ottimista... che volete farci, è un mio noto difetto.

Cubi5

 

 Ed eccolo qua, signore e signori! Che poi sicuramente l’avrete già visto chissà quante volte....

 Come detto, quello che vediamo rappresentato qui è lo scheletro della proiezione sulle tre dimensioni dell’ipersuperficie di un tesseratto, analogamente a quello che vedemmo a suo tempo del pentatopo. Questa è una delle rappresentazioni possibili, forse la più comunemente utilizzata. La sua particolarità è quella di essere in prospettiva, non solo per le prime tre dimensioni, ma anche per la quarta! Già, perché è proprio a causa della prospettiva che vediamo due cubi, uno all’interno dell’altro e concentrici, sebbene però – attenzione – siano in realtà perfettamente uguali. Quello “interno” viene disegnato più piccolo proprio per simulare una prospettiva, in maniera del tutto analoga a quella nella quale un cubo viene rappresentato come nella figura seguente:

Cubi6
 Sicuramente questa seconda immagine è molto più familiare ed è lo scheletro di un cubo osservato da un punto di una retta ortogonale a due facce passante per i loro centri. La faccia quadrata che sta dietro, pur essendo uguale a quella davanti, si vede più piccola solo perché più lontana. Se avessimo disegnato il cubo in assonometria invece che in prospettiva, osservato dalla stessa direzione, avremmo tracciato un solo quadrato, con un risultato diciamo meno utile dal punto di vista della descrizione che ci interessa. Analogamente, la proiezione dell’ipercubo mostrata sopra intende far vedere il cubo interno più piccolo solo perché più “lontano” dall’osservatore nell’iperspazio.

 Una cosa molto interessante della prima immagine in alto è che è possibile vedere anche i rimanenti sei cubi (come abbiamo detto, l’ipersuperficie del tesseratto ha 8 cubi), per la precisione sono i cubi che includono tutta la porzione di iperspazio che va da una delle facce esterne del cubo “grande” alla corrispondente faccia del cubo “piccolo”, e si vedono i quattro segmenti che le collegano. La figura qui sotto mostra come esempio due di tali cubi, evidenziati in giallo e magenta. Le altre due coppie analoghe sono costituite una dai cubi in alto e in basso e l’altra dal cubo frontale e quello posteriore. Naturalmente, nello spazio tridimensionale, la loro forma non è cubica, ma sono deformati a causa della prospettiva in due tronchi di piramide a base quadrata, nello stesso modo in cui nella rappresentazione del cubo, le facce laterali appaiono come dei trapezi e non dei quadrati.

Cubi7

 Naturalmente esistono innumerevoli altri modi di proiettare nello spazio tridimensionale un ipercubo, sia in prospettiva che in assonometria, se ne possono facilmente trovare tantissimi su internet, anche dei video nei quali cambia la direzione di proiezione e si vede tutto ruotare in maniera apparentemente casuale, ad esempio sulla pagina di Wikipedia sotto la voce “ipercubo”.

 Prima di passare ad altro, volevo solo far vedere un’altro aspetto interessante dell’ipercubo, cioè lo sviluppo in tre dimensioni dell’ipersuperficie, come abbiamo visto nel caso del pentatopo aperto nel precedente articolo. Tagliando l’ipersuperficie (formata da 8 cubi) dell’ipercubo lungo alcune facce quadrate, si possono ruotare attorno ad altre facce quadrate i suddetti cubi nell’iperspazio, fino a portarli tutti e otto sullo stesso spazio, ottenendo quindi l’ipersuperficie “aperta”. È l’analogo dello sviluppo della superficie di un cubo tagliandola lungo alcuni spigoli, ruotando le facce quadrate attorno ad altri spigoli nello spazio tridimensionale fino a portare tutte le facce sullo stesso piano.

 Così come il cubo può essere aperto in molti modi differenti, ottenendo disposizioni dei quadrati (in questo caso degli esamini) differenti – in questo momento non chiedetemi in quanti modi perché non lo ricordo – anche l’ipercubo può essere aperto in molti modi diversi. Se uno degli esamini più graziosi è quello con i sei quadrati disposti a croce latina, uno degli sviluppi dell’ipercubo è quello a ipercroce. Possiamo vederlo nell’immagine qui accanto. Anche Salvador Dalì si è ispirato a questa figura nel realizzare la sua opera chiamata “Corpus Hypercubus”.

Cubi8

 

 Andiamo avanti. Naturalmente l’argomento “cubo” è vastissimo e non possiamo certo parlare di tutto (anche perché non lo conosco, tutto), ma un altro paio di cose vorrei dirle. Cominciamo con una considerazione di tipo dimensionale. Definiamo come diametro di un insieme di punti la massima distanza che intercorre tra due punti di quell’insieme. Il diametro di un cerchio è allora pari... al suo diametro! Il diametro di un quadrato è pari alla diagonale, quello di un rombo alla diagonale maggiore e così via.

 Prima di applicare il concetto agli ipercubi, torniamo un attimo al tetraedro e ai suoi analoghi nelle diverse dimensioni. Quale sarà il diametro di un generico tetraedro n-dimensionale? Proprio per il modo nel quale vengono costruiti, i tetraedri sono tali che la massima distanza tra due loro punti si ha quando si trovano in corrispondenza di due vertici, e quindi tale distanza è pari alla lunghezza degli spigoli.

 Nel caso del generico ipercubo, supponendo sempre unitari gli spigoli, è semplice calcolare, con l’utilissimo teorema di Pitagora, che in una dimensione la distanza massima è naturalmente pari a 1, in due dimensioni la diagonale del quadrato è pari a √2 (cioè la radice di 12+12), nel cubo la lunghezza della diagonale è pari a √3 perché, come possiamo vedere nell’immagine qui di lato, la diagonale del cubo è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo, evidenziato qui in verde e che nel vertice A ha un angolo retto, che ha un cateto corrispondente ad uno spigolo del cubo (lunghezza 1) e l’altro alla diagonale di una delle facce che, come abbiamo visto ha lunghezza √2, per cui la diagonale avrà lunghezza pari a √(2+1).

Cubi9

 Naturalmente ora il discorso può essere esteso anche alle dimensioni superiori, per cui la diagonale del tesseratto sarà √4, quella dell’ipercubo a 5 dimensioni sarà √5, quella dell’ipercubo a n-dimensioni √n.

 La cosa notevole è che al crescere di n, la lunghezza della diagonale cresce sempre di più, seppure più lentamente di n, quindi per un qualunque valore della lunghezza dello spigolo, data una lunghezza che ci interessa, esisterà un numero di dimensioni tale che la diagonale dell’ipercubo con quello spigolo in quello spazio dimensionale sarà più grande della lunghezza scelta! Cioè, ad esempio, ci sarà uno spazio dimensionale in cui la diagonale dell’ipercubo con lo spigolo di un millimetro sarà più lunga di un anno luce! Certo, ci vuole un numero di dimensioni pazzesco, ma è così.

 Al contrario l’ipersfera, in qualunque dimensione, ha diametro (come definito prima) pari al doppio del suo raggio, quindi sempre lo stesso, sebbene l’ipersfera sia perfettamente inscritta nell’ipercubo corrispondente. 

 A proposito di diagonali e di dimensioni interne, restiamo nello spazio tridimensionale e inizialmente divertiamoci a considerare le sezioni piane di un cubo. Che forma avranno? Quadrate? Certo, ma naturalmente non solo. Ci saranno rettangoli, triangoli, e perfino esagoni o pentagoni. Non dovremmo stupircene più di tanto se abbiamo già letto l’articolo sui dadi da 6.

Vi mostro nelle figure qui sotto alcuni esempi di sezioni del cubo.

Cubi10

 Ma perché tutto ciò? Nulla, volevo solo evidenziare un fatto curioso, sotto forma di giochetto matematico, preso sempre da “Enigmi e giochi matematici” di Martin Gardner. Consideriamo un cubo. Chiediamoci se sia possibile fare un buco in questo cubo tale da poterci far passare attraverso un altro cubo. Naturalmente questo è facilissimo se il secondo cubo è più piccolo del primo. Ma sarebbe possibile fare invece un buco che permetta il passaggio di un cubo più grande? Istintivamente diremmo di no, invece questa cosa è sorprendentemente possibile. Naturalmente il secondo cubo, anche se più grande del primo, può avere lo spigolo lungo fino ad un determinato valore massimo, non molto più grande dello spigolo del cubo piccolo.

 Come è possibile far ciò? Osserviamo un cubo dalla direzione di una delle sue diagonali principali, ortogonalmente al piano di sezione che possiamo vedere nell’ultima delle immagini precedenti. Il profilo totale del cubo anche in questo caso appare come un esagono. La dimensione di questo esagono è tale da permettere di includere al suo interno un quadrato di lato leggermente maggiore dello spigolo del cubo.

Cubi11

Non mi metto a fare calcoli esatti, mi limito solo a fare esperimenti con PoV-Ray. La prima delle due immagini qui sopra mostra il profilo esagonale e il buco a sezione quadrata che è stato scavato nel cubo da parte a parte, in prospettiva per poter far vedere le pareti del “tunnel”. Il lato del quadrato di questa sezione è proprio uguale allo spigolo del cubo. Facendo sem-
plici prove, ho appurato che questa lunghezza può essere ancora aumentata di circa il 3.5% prima di ottenere quattro pezzi del cubo separati tra loro.  Quindi si può fare un buco un po’ più largo del cubo e farci passare attraverso il secondo cubo, un po’ più grande del primo.
 Nella seconda immagine vediamo la stessa scena da un altro punto di vista, in maniera da facilitare la comprensione della geometria di tutta la faccenda.

 Bene. E anche questa è fatta. Finito qui? Veramente ci sarebbe ancora almeno un’altra cosetta che mi piacerebbe dire sui cubi e mi sembrerebbe un peccato non dirla. E allora andiamo avanti, anche se l’articolo è già lungo.

Cubo di resistenze

 Anche questo problema l’ho preso da “Enigmi e giochi matematici” di Martin Gardner, però l’ho voluto completare con i calcoli esatti. Consideriamo 12 resistori di uguale resistenza (chiamiamo R tale valore). Colleghiamo tra loro i resistori disponendoli lungo gli spigoli di un cubo, come mostrato in figura.

Cubi12

 Quale sarà il valore di resistenza che si vede tra i punti A e B indicati? Ovvero, se si collega un generatore di tensione ideale tra A e B che genera un valore di tensione pari a V, se I è la corrente che scorre nel generatore quale sarà il valore di RAB=V/I ?

 Ci sono vari modi per risolvere questo problema. Uno è quello di effettuare tutti i calcoli nella maniera canonica, scrivendo tutte le equazioni necessarie seguendo la teoria delle reti elettriche. Ciò comporta una quantità di calcoli non trascurabile, però nemmeno tanto difficile e ci fornisce senza dubbio il valore che cerchiamo.  Ma a volte questi problemi possono essere risolti con opportuni accorgimenti e trucchi. Purtroppo si vede subito che, ad esempio, non ci sono né resistenze in serie né in parallelo. Ma lo vediamo più avanti.

 Ora eseguiamo prima i calcoli nel modo più lungo. Per iniziare, ridisegnamo il circuito rendendolo il più possibile planare. Ci rendiamo subito conto che non possiamo renderlo completamente planare, se vogliamo che il generatore di tensione sia incluso nello schema. Al massimo riusciamo ad avere una intersezione tra due rami del circuito, come è mostrato nella figura qui sotto, dove l’intersezione si trova in basso a destra.

Cubi13

 

 Per risolvere il problema, utilizziamo le leggi di Thevenin per le reti elettriche. Determiniamo innanzitutto le maglie del circuito ed assegnamo una corrente per ognuna di esse. Nel nostro caso abbiamo 6 maglie, con le correnti da I1 a I6 indicate in azzurro sul circuito. Dobbiamo ben specificare le maglie per le correnti I1 e I5. La prima collega in sequenza i punti A-P3-Q1-B-A, mentre la seconda collega i punti P3-Q1-B-Q2-P3. Notare che abbiamo un resistore, quello tra i punti Q1 e B, appartenente a ben tre maglie, quelle per le correnti I1, I4 e I5.

 Il problema può essere risolto calcolando il valore della corrente I con il valore della tensione V noto. In questo caso il valore di I coincide con quello della corrente I1, quindi basterà calcolare quest’ultima. [nota bene: chi non è esperto di sistemi e di matrici e non voglia perdersi nei passaggi può saltare alle conclusioni! MDL]

 Dopo questa lunga introduzione, iniziamo a scrivere le equazioni:

Cubi14

 Riscriviamole ordinando secondo le variabili I1-I6:

Cubi15

 Scriviamo ora la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti:

Cubi16b

 Per calcolare il valore della corrente I1 occorre calcolare il determinante della matrice M e quello della matrice ottenuta sostituendo alla prima colonna il vettore dei termini noti, per poi fare il rapporto tra i due. Iniziamo dal primo determinante:

Cubi17

(aggiungiamo ora la terza riga -5 volte alla prima, -3 volte alla seconda e -3 volte alla quarta)

Cubi18

 Ed ora passiamo alla parte divertente del problema. Dobbiamo trovare un trucco che ci fornisca una scorciatoia. Una cosa che possiamo utilizzare è la perfetta simmetria del cubo per rotazione di 120 gradi attorno alle diagonali (tra le altre simmetrie esistenti).  In definitiva il valore di resistenza cercato è pari ai cinque sesti di quello di ognuno dei resistori.

 Ed ora passiamo alla parte divertente del problema. Dobbiamo trovare un trucco che ci fornisca una scorciatoia. Una cosa che possiamo utilizzare è la perfetta simmetria del cubo per rotazione di 120 gradi attorno alle diagonali (tra le altre simmetrie esistenti).

Cubi19

 

 Torniamo allo schema iniziale. Se consideriamo a massa il punto B e poniamo il punto A a tensione V, vediamo subito che i punti P1, P2 e P3 si trovano allo stesso potenziale e lo stesso vale per i punti Q1, Q2 e Q3 (potenziale uguale, anche se diverso da quello dei punti Pi), quindi se collegassimo i tre punti Pi tra di loro e i tre punti Qi tra di loro, nei rami che aggiungiamo non scorrerebbe corrente, quindi il circuito è equivalente a quello mostrato qui accanto.

 Tale circuito è risolvibile molto facilmente. Le prime tre resistenze sono in parallelo ed equivalgono quindi ad una resistenza di R/3, le seguenti sei pure sono in parallelo ed equivalgono ad R/6, le ultime tre, e questa cosa rispetta anche la simmetria A-B, sono in parallelo per un valore di R/3. Queste tre resistenze equivalenti sono ora in serie per un valore complessivo pari a (1/3+1/6+1/3)∙R= 5/6∙R. Semplice, no?

 Naturalmente problemi analoghi possono essere ideati costruendo reti elettriche secondo lo scheletro degli altri solidi, ma la parte interessante del discorso ormai l’abbiamo vista, quindi concludiamo qui.

 Nota: questo articolo, come i precedenti dallo stesso autore, è stato realizzato con il contributo tecnico di Marco Di Lorenzo (DILO)

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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