Scritto: Sabato, 28 Novembre 2015 19:40 Ultima modifica: Giovedì, 26 Luglio 2018 15:27

Approssimazioni razionali di Pi-greco


Esistono delle frazioni che approssimano abbastanza da vicino il valore della costante matematica più famosa?

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Le prime 6000 cifre di Pi-greco Le prime 6000 cifre di Pi-greco Supercomputing.org

 La maggior parte delle persone ricorda il valore di π (il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro) con sole 3 cifre significative e, anzi, molti sono convinti fin dai tempi della scuola che non ci siano ulteriori cifre dopo 3,14. Ovviamente, non è così e, purtroppo, π risulta essere un numero irrazionale con un numero infinito di cifre decimali che si susseguono senza uno schema in modo apparentemente casuale, come si può vedere nell'immagine di apertura. A questo punto ci si pone la domanda: volendo imparare un valore più preciso di questa costante senza dover mandare a memoria troppe cifre "casuali", esiste la possibilità di esprimerla tramite un numero razionale (ovvero una frazione in forma n/d non semplificabile) che la approssima abbastanza bene? La risposta, come vedremo, è positiva anche se il vantaggio che se ne ottiene non è eclatante.

 Se ci pensiamo, già il valore approssimato 3,14 è esprimibile tramite la frazione 314/100, a sua volta semplificabile in 157/50... però non c'è un gran vantaggio a ricordarla così, dato che bisognerebbe comunque memorizzare le 5 cifre di numeratore e denominatore al posto delle 3 cifre decimali da cui siamo partiti (senza contare la scomodità di dover usare la frazione); esistono tuttavia altre combinazioni molto più efficienti di questa. Storicamente, alcune di queste frazioni erano note fin dall'antichità; ad esempio, già intorno al 2000 aC i Babilonesi usavano 25/8 per π (3,125, valore successivamente adottato anche da Vitruvio) mentre Archimede, usando poligoni di 96 lati, calcolò che 223/71 < π < 22/7 e Tolomeo usò π = 377/120 ~ 3,14166.

ARP5

Tabella 1

  Per rispondere alla domanda, ho effettuato una ricerca iniziale su tutti i numeri razionali con denominatore d < 2ˑ106; essa ha mostrato che esistono molte frazioni “notevoli” tra cui quelle note storicamente. I risultati sono parzialmente riportati tabella 1, dove la colonna "delta" esprime lo scostamento tra il risultato della divisione n/d e il valore esatto di π. La tabella riporta solo alcuni “record”, ovvero quozienti con un “delta” inferiore ai precedenti e quindi, in assoluto, migliori di quelli trovati precedentemente.

 E' ovvio che la precisione ottenibile migliora man mano che il denominatore cresce per effetto della maggior “risoluzione” numerica; statisticamente, questo miglioramento di precisione dovrebbe crescere in ragione di d; dato che anche il campione statistico aumenta proporzionalmente a d, ho introdotto un “fattore di merito” pari all'inverso del prodotto tra delta e d elevato al quadrato:

Fattore di Merito = 1 / (Δ · d2)

 Alcuni record non sono riportati in tabella poiché poco interessanti, avendo un fattore di merito contenuto (<0,25) e, conseguentemente, non mostrando balzi clamorosi di precisione rispetto ai precedenti.  Come si vede, in questo modo i quozienti statisticamente notevoli sono quelli indicati in marrone e, soprattutto, in rosso; in particolare, la frazione 355/113, già segnalata nel V secolo dal matematico ed astronomo cinese Zu Chongzhi, è davvero notevole oltre che relativamente facile da memorizzare; inoltre risulta davvero "economico" poichè, memorizzando le 6 cifre che ne compongono la frazione, se ne "azzeccano" 7 in forma decimale! Un'altra peculiarità di questa frazione è quella di avere un denominatore primo (caratteristica non comune ed evidenziata dallo sfondo grigio nella tabella).

Oltre la doppia precisione

 I risultati esposti finora sono stati ottenuti con un semplice datasheet (openOffice) e sono comunque facilmente reperibili anche in rete. Diverso è il discorso quando il “delta” scende sotto 10-15 poiché la ricerca non è più gestibile con la doppia precisione normalmente utilizzata dagli applicativi generici; personalmente ho esteso la ricerca usando il linguaggio interprete “Decimal BASIC 7.5.7” che permette di usare variabili floating con ben 1000 cifre decimali! Per chi fosse curioso, in fondo all'articolo riporto il listato del programma utilizzato.

 Il programma fornisce tutti i risultati con denominatore < 106 in poco più di 8 sec (usando un AMD Phenom 2,2GHz con WindowsVista) mentre, con un calcolo di oltre 10 ore, ha fornito i seguenti nuovi record con denominatore fino a 109 :

ARP3

 Come si vede, anche se il fattore di merito risulta buono (cioè maggiore di 1) per tutti i record nella seconda metà della tabella, non ci sono i bruschi salti di precisione osservati in precedenza e, dunque, non si trovano altri risultati particolarmente significativi dal punto di vista statistico. Questo si apprezza meglio dal grafico successivo che mostra l'andamento dell'errore assoluto in funzione del denominatore per tutte le frazioni razionali; come si vede, ci sono inizialmente dei “gradoni” dove la precisione improvvisamente migliora e poi rimane a lungo imbattuta; essi sono facilmente identificabili come dei punti molto bassi rispetto alla retta esponenziale che interpola l'andamento generale e corrispondono alle frazioni notevoli appena discusse (22/7, 223/71 e 355/113); successivamente, l'andamento sembra più regolare e segue un trend esponenziale molto vicino a k/d2 che è l'andamento atteso:

ARP2

  A questo punto, le speranze di trovare nuove frazioni notevoli come quella di Zu Chongzhi sono praticamente tramontate [si veda anche il successivo articolo correlato, sulle frazioni continue].

 

APPENDICE: Il "programma PiGrecoRational" è riportato di seguito:

! Approssimazioni razionali di pi-greco - by M. di Lorenzo, 2012

let emin=1 ! errore assoluto migliore
let time1=time
LET maxden=100000
let c=0 ! record counter
FOR d=1 TO maxden
LET n=round(pi*d)
let e=abs(n/d-pi) ! differenza da pigreco
if eLET emin=e
LET c=c+1
let m=1/(e*d*sqr(d)) ! fattore di merito
print c,n,d,e,m
end if
NEXT d
let time2=time
print "done in";time2-time1;"s"
END

 

 Addendum del 30/3/16 (a proposito di e)

Su suggerimento di un lettore, aggiungo brevemente un paio di osservazioni sul numero di Eulero e Nepero e≈2.71828182846, base dei logaritmi naturali.

Anche questo numero irrazionale ha parecchie buone approssimazioni razionali ma nessuna di esse è particolarmente semplice ed efficiente. Utilizzando il metodo delle frazioni continue (di cui parlerò presto), le approssimazioni più semplici sono 8/3, 11/4 e 19/7; l'ultima, che fornisce 2 posizioni decimali esatte, è interessante perchè "fa coppia" con la celebre approssimazione 22/7 di ¶, condividendone il denominatore. Un quoziente abbastanza efficiente è 23225/8544≈2.718281835 e ancora meglio fa 271801/99990≈2.7182818281828..., sfruttando la apparente periodicità di e (non vera).

 In ogni caso, un calcolo rapido del valore di e è estremamente semplice, al contrario di quanto avviene con ¶. Basta utilizzare la definizione e = lim (1+1/n)^n per n→∞; utilzzando un foglio di lavoro su PC (dunque utilizzando la matematica in virgola mobile in doppia precisione), il valore migliore si ottiene per n≈108 con 7 cifre corrette dopo la virgola, mentre per n maggiore prevalgono gli errori di arrotondamento imputabili alla macchina e non al metodo; l'errore (in difetto) che si commette con questo metodo è inversamente proporzionale a n (precisamente, tende al valore e/2n).

 

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Marco Di Lorenzo (DILO)

Sono laureato in Fisica e insegno questa materia nelle scuole superiori; in passato ho lavorato nel campo dei semiconduttori e dei sensori d'immagine. Appassionato di astronautica e astronomia fin da ragazzo, ho continuato a coltivare queste passioni sul web, elaborando e pubblicando numerose immagini insieme al collega Ken Kremer. E naturalmente amo la fantascienza e la fotografia!

https://www.facebook.com/marco.lorenzo.58 | Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo.

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