Martedì 21 Novembre 2017
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Dadi e solidi platonici: 2a parte (il tetraedro)

Dopo il primo articolo dedicato ai solidi platonici in generale, iniziamo dalla figura con meno facce, il tetraedro.

Il Tetraedro

tetra1

 Il tetraedro regolare (figura accanto) è un poliedro con quattro facce (che sono triangoli equilateri), quattro vertici (ognuno condiviso da tre facce) e sei spigoli.

 Una delle peculiarità di questo solido, non condivisa dagli altri, è che ognuno dei vertici è equidistante da tutti gli altri. In parole povere, il solido non ha diagonali interne, i collegamenti tra tutte le possibili coppie di vertici sono già esauriti con gli spigoli.

 Lo scheletro del tetraedro, proiettato su un piano in modo che uno dei vertici venga a trovarsi all’interno del triangolo formato dagli altri tre, rappresenta un grafo completo di quattro punti con tutte le coppie possibili di punti collegati tra loro, senza avere incroci tra le linee. Nel piano questo è il numero massimo di punti che soddisfano questo requisito. Con più punti sarebbe invece possibile su altre superfici con proprietà topologiche differenti, come il toro, ma questo ci porterebbe fuori tema.

 Quattro punti sulla superficie di una sfera disposti come i vertici del tetraedro sono equidistanti e questo è il massimo numero di punti con questa proprietà. Può sembrare complicato calcolare le coordinate dei quattro vertici del tetraedro, invece non è tutto sommato così difficile. Nella figura qui sotto (che ho fatto con PoV-Ray, come le tre seguenti) vediamo un tetraedro posizionato con una faccia sul piano xy centrata sull’origine e con un vertice sul semiasse positivo delle x. Se supponiamo che il raggio della circonferenza contenente i tre punti A, B e C sia uguale a uno, si calcolano facilmente le coordinate di B e C (x=-1/2, y=±√3/2) e la distanza AB (lunghezza degli spigoli), pari a √3. Da ciò, notando che il punto D ha x e y pari a 0, si calcola facilmente la sua coordinata z, che risulta essere √2.

Tetra2

 

 Ma forse non tutti si sono accorti del fatto che è semplicissimo trovare le coordinate di quattro vertici di un tetraedro regolare in un altro modo, considerando un cubo. Chiaramente un cubo ha sei facce e otto vertici, ma se prendiamo solo quattro di questi vertici, scegliendoli in modo che si trovino a coppie su una diagonale di una faccia del cubo, essi sono disposti come i vertici di un tetraedro e sono chiaramente equidistanti. La figura qui sotto è molto chiara a proposito.

Tetra3

 I tre assi cartesiani x, y, z sono colorati rispettivamente in rosso, verde e blu (colori non casuali...) e l’origine degli assi si trova al centro del cubo, il quale naturalmente ha gli spigoli paralleli agli assi. Se lo spigolo del cubo ha lunghezza 2, le coordinate degli otto vertici sono tutte <±1,±1,±1>. Le coordinate dei nostri quattro vertici saranno allora:

A: <+1,-1,-1>

B: <-1,+1,-1>

C: <-1,-1,+1>

D: <+1,+1,+1>

Si può facilmente verificare che la distanza tra due qualsiasi di questi quattro punti è pari a 2√2 (quindi questo tetraedro è più grande del precedente). Le coordinate di ogni coppia di punti differiscono per il segno di due delle tre componenti. Naturalmente ogni vertice ha la stessa distanza dal centro del tetraedro (questa proprietà vale per tutti i solidi platonici), in questo caso la distanza è √3.

 Le semirette che partono dall’origine e passano per i quattro vertici rimanenti del cubo sono ortogonali ognuna ad una delle facce del tetraedro e naturalmente la intersecano al centro. Questo si vede chiaramente nelle due figure sottostanti, con il tetraedro, osservato da un altro punto, con le facce trasparenti, dove sono indicati con sferette verdi i centri delle facce. Si vede anche che i centri dei sei spigoli (sfere grigie) si trovano sugli assi delle coordinate. Nello schema a destra si vedono le tre rette passanti per l’origine ed ognuna per una coppia di centri degli spigoli (L-P, M-S e N-T), le tre rette sono tra loro ortogonali.

Tetra4

 

Poliedro duale

 Un’altra caratteristica unica del tetraedro, tra tutti i cinque solidi platonici, è che il suo solido duale, ovvero il solido ottenuto prendendo i centri di ogni faccia e considerandoli come vertici del nuovo solido, è di nuovo un tetraedro, che quindi è autoduale. Possiamo vedere cosa si intende nell’immagine qui sotto (da Wikipedia). Invece gli altri quattro solidi platonici sono accoppiati a due a due, il duale del cubo è l’ottaedro e viceversa, il duale del dodecaedro è l’icosaedro e viceversa. Magari in futuro farò un articolo espressamente dedicato ai solidi duali e come farli con PoV-Ray.

Duality of tetrahedron

"Duality of tetrahedron" di Birgit Lachner, drawn with geocNext - de:Bild:Dualitaet des Tetraeders.png. Con licenza CC BY-SA 3.0 tramite Wikimedia Commons - https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Duality_of_tetrahedron.png#/media/File:Duality_of_tetrahedron.png

 

Contenitori tetraedrici

 I più grandicelli, della mia età circa o più, ricorderanno sicuramente che in passato ebbero larga diffusione dei contenitori per latte di forma tetraedrica, dei quali allego qui sotto a sinistra un disegno che ho fatto col computer. Forse sono utilizzati ancora oggi, ma non sono sicuro, perché non li vedo da molto tempo.

Tetramente

Restiamo su questo tema e vediamo come si può realizzare facilmente un contenitore come questo. Prendete un rettangolo di carta pesante o cartoncino e chiudetelo a cilindro incollando due lati paralleli. Poi incollate tra loro le due metà della circonferenza alla sommità del cilindro e fate lo stesso sulla circonferenza alla base, ma prendendo necessariamente il diametro ortogonale a quello in alto. Non resta che adattare la superficie laterale piegando opportunamente la carta. Le proporzioni del foglio carta, escludendo le parti che si sovrappongono per l’incollatura, devono essere di 4 parti per la circonferenza e di √3 parti per l’altezza, affinché il tetraedro risultante sia regolare.

Un procedimento più classico per costruire un tetraedro di carta è di ripiegare la figura in alto a destra (si può fare facilmente con riga e compasso) lungo i lati e infilare i triangoli neri all’interno.

 

Riempimento dello spazio

Non c’è bisogno di dirlo, il cubo e i parallelepipedi in genere non hanno rivali per quanto riguarda il “compito” di riempire lo spazio senza lasciare vuoti. Tutti siamo abituati da sempre a vedere parallelepipedi arrangiati per stivare quante più cose possibile in un determinato spazio, ad esempio libri sugli scaffali, casse di bottiglie, merci negli scatoloni e così via. Si potrebbe pensare che lo stesso si potrebbe fare con tanti tetraedri uguali sistemati opportunamente. Invece la forma del tetraedro non ha questa proprietà e non lo permette, mentre si potrebbe farlo invece con dei prismi a base triangolare, tutti uguali, naturalmente.

Se così non fosse, c’è la possibilità che il tetraedro sarebbe diventato un serio rivale del cubo per essere utilizzato per questo scopo, anche se, in realtà, c’è un’altra proprietà del cubo e dei parallelepipedi che, ad esempio, non è condivisa dai prismi triangolari, ovvero che la mancanza di un certo numero di contenitori in un mucchio a volte permette di spostarli attraverso dei “tunnel” composti dagli spazi vuoti, inoltre si può estrarre una singola scatola da una fila facendola scivolare ortogonalmente, cosa non possibile con un prisma.

 Per poter riempire lo spazio con i tetraedri è necessario utilizzarli insieme a degli ottaedri il cui spigolo abbia la stessa lunghezza. Mi sono divertito un po’ con PoV-Ray a realizzare le immagini seguenti, che possono aiutare a chiarire la questione.

 Tanto per gradire, nell'immagine di apertura dell'articolo iniziamo mostrando gli scheletri di un tetraedro e di un ottaedro.

  Ora costruiamo un “blocco” costituito da un ottaedro e due tetraedri, come mostrato nella figura sotto a sinistra, nella quale l’ottaedro è colorato in verde e i tetraedri in rosso. Se osserviamo con attenzione, vedremo che l’unione dei tre solidi costituisce un parallelepipedo, naturalmente non retto, ma comunque un solido con tre coppie di facce parallele, ogni faccia è un rombo formato da due triangoli uguali, uno verde e uno rosso. Disponendo tali blocchi uno dopo l’altro, possiamo realizzare parallelepipedi più lunghi, come nella figura a destra.

 Tetra8

 Disponendo poi tali file di blocchi una accanto all’altra, possiamo riempire il piano, come possiamo vedere nell’immagine in basso a sinistra. Come ci si può aspettare, in questo modo possiamo ottenere dei parallelepipedi più grandi lungo le direzioni x e y, con le facce inferiori e superiori orizzontali. Quindi è ora ovvio che possiamo disporre tali parallelepipedi su piani paralleli per riempire tutto lo spazio, come vediamo nell’ultima figura a destra. Tetra9

C’è un altro modo per convincerci di come il riempimento dello spazio si possa fare con tetraedri ed ottaedri.

Le due immagini seguenti mostrano come costruire un tetraedro grande con quattro tetraedri piccoli e un ottaedro con lo spigolo uguale. Si ottiene un tetraedro con lo spigolo lungo il doppio. Nella seconda ho eliminato il tetraedro in alto, per far vedere meglio l’ottaedro all’interno.

Tetra10

 Un paio di cose da notare: i quattro tetraedri sono orientati nello stesso modo e i loro centri sono disposti naturalmente come i vertici di un tetraedro, mentre l’ottaedro si trova al centro. Da questo si può subito dedurre che il volume di un ottaedro è 4 volte più grande di quello di un tetraedro con lo stesso spigolo. Infatti al raddoppiare delle dimensioni lineari di un solido, la superficie diventa 4 volte più grande e il suo volume invece 8 volte più grande. Sottraendo il volume dei quattro tetraedri, vediamo che l’ottaedro restante occupa un volume pari a quello di altri quattro.

Nello stesso modo, utilizzando sei ottaedri e otto tetraedri piccoli, si ottiene un ottaedro più grande, con lo spigolo doppio. Anche qui i sei ottaedri sono orientati nello stesso modo e disposti sui vertici di un ottaedro. Sottraendo dal volume dell’ottaedro grande (8 ottaedri piccoli) quello dei 6 ottaedri utilizzati, resta il volume di altri 2, da dividere per 8 tetraedri, per cui confermiamo che i tetraedri hanno un volume che è 1/4 di quello degli ottaedri con spigolo uguale.

Tetra11

 Naturalmente, procedendo in questo modo, si possono costruire solidi sempre più grandi, a piacere, quindi in pratica si può riempire l’intero spazio senza lasciare porzioni vuote.

 

Caltrop

 Vediamo ora degli oggettini molto curiosi. Si chiamano caltrop, sono simili a chiodi, con la differenza che sono formati da 4 punte che partono dallo stesso punto e terminano, indovinate...? sì, terminano con la disposizione dei quattro vertici di un tetraedro. Come avete fatto a indovinare?

Caltrop1

 Potete vedere un caltrop nella figura qui sopra. Qual è la loro proprietà più importante? Quella di avere sempre una punta rivolta verso l’alto quando cadono a terra, a meno che, per una remota eventualità, una punta non capiti proprio dentro un buco del terreno. Sono dispositivi molto efficaci per forare le gomme, molto più dei semplici chiodi. Furono utilizzati durante la Seconda Guerra mondiale, ma esistevano già da molto prima, addirittura dai tempi degli antichi romani. Devo dire che una ricerca su internet di questi dispositivi fornisce una galleria di immagini molto brutte.

 Fortunatamente c’è un utilizzo molto più “soft”, ovvero realizzati molto più grandi, in blocchi di cemento tronchi, sono molto efficaci come frangiflutti. Ecco una foto, presa da Wikipedia:

Caltrop2

 

Tetraedro col pane

 Vi è mai capitato di fare dei dadi a quattro facce con il pane mentre siete a pranzo, soprattutto in quei pranzi molto lunghi tipo matrimoni o simili, quando c’è molto tempo a disposizione e la noia rischia di lasciarvi lì stramazzati sul tavolo? Sicuramente tutti l’avrete fatto. Basta prendere la mollica del pane e lavorarla con le dita, schiacciandola forte e modellandola a lungo, fino ad ottenere un materiale compatto senza bolle d’aria, che poi con le dita è semplice modellare a forma di tetraedro. Ci si può aiutare cercando di fare le facce piatte schiacciandoli sul tavolo o su una superficie piana dura. Conviene all’inizio lavorare sulle dimensioni e sugli angoli poi, quando il materiale diventa un po’ più duro, rifinire gli spigoli e i vertici. Chiaramente con le sole mani non si riesce a fare un lavoro sopraffino, ma comunque la soddisfazione c’è. Più o meno lo stessa difficoltà si incontra per fare un cubo o un ottaedro, anche se bisogna stare più attenti alle dimensioni degli spigoli e all’orientamento delle facce. Non sono invece mai riuscito a fare dodecaedri o icosaedri accettabili, perché la natura elastica della pasta del pane non permette di fare facilmente spigoli vivi e regolare con precisione le dimensioni.

pane

Nella foto in alto potete vedere un cubo, un tetraedro e un ottaedro che ho testé realizzato appositamente per l’articolo. Purtroppo ciò si è reso necessario, in quanto questi solidi non durano a lungo, asciugandosi la mollica diventa durissima, iniziano a comparire delle crepe che gradualmente si allargano e il nostro gioiello cade letteralmente a pezzi.

Come ulteriore curiosità, vi cito il fatto che si possono fare ravioli a forma di tetraedro.

 

Pentatopo e dimensioni superiori

 

 Un tetraedro vuoto può essere aperto e sviluppato sul piano tagliando la superficie lungo gli spigoli (non tutti) e disponendo le facce triangolari su un piano, come abbiamo visto prima, parlando dei contenitori a tetraedro. Esistono gli analoghi a più dimensioni, come già detto nel numero scorso, di alcuni dei solidi platonici. Il tetraedro è uno di quelli che ha gli analoghi negli spazi per tutte le dimensioni superiori, insieme al cubo e all’ottaedro.

 L’analogo del tetraedro in quattro dimensioni si chiama pentatopo, ha 5 vertici, 10 spigoli, 10 facce triangolari e 5 “iperfacce” tetraedriche. Naturalmente un tale “oggetto” non può essere rappresentato facilmente su una superficie piana, ma qualcosa si può fare. Prima di mostrarne il disegno, vorrei procedere, come mia abitudine, in maniera graduale, per facilitare la comprensione.

 Iniziamo dunque dagli spazi di dimensioni inferiori, partendo da 0 e pensiamo all’analogo del tetraedro in ognuna di esse. In dimensione 0 abbiamo un semplice punto e nulla più, in tutto lo spazio.

 Nello spazio monodimensionale (pensiamolo come una retta), prendiamo due punti, posti ad una certa distanza e consideriamo il segmento che li unisce. Questo è l’analogo del tetraedro a una dimensione.

Tetra12

 In due dimensioni, i punti diventano già tre, naturalmente li disponiamo a triangolo, ma in maniera tale che la distanza tra ogni coppia di punti sia la stessa, quindi un triangolo equilatero. Si fa facilmente ponendo i primi due punti sull’asse x, equidistanti dall’origine e il terzo sull’asse y, quindi in maniera tale che la sua proiezione sull’asse x si trovi al centro dei due punti. Se i due punti fossero, poniamo, a x=±1, allora il valore di y sarà √3 (o -√3).

 Per le tre dimensioni, immagino che abbiamo detto già tutto abbondantemente. Comunque, disponiamo sul piano tre punti a triangolo equilatero, il quarto sull’asse z ad un’altezza giusta, in questo caso 2√(2/3). Potete andare a rivedere la seconda immagine dell’articolo.

Tetra13c  Passando a quattro dimensioni, le cose si complicano, ma concettualmente è tutto ancora semplice. Disposti i primi quattro punti come un tetraedro, per semplicità centriamolo nell’origine, il quinto lo poniamo dapprima al centro, poi lo spostiamo lungo il quarto asse delle coordinate (chiamiamolo w) ortogonalmente a tutti e tre gli altri assi, di una quantità tale che la sua distanza nello spazio 4D da tutti gli altri punti sia uguale alla lunghezza degli spigoli già esistenti. Facendo i conti, viene una coordinata w pari a √2.

 E ora finalmente possiamo vedere l’immagine di un pentatopo. In realtà ciò che vediamo nella figura qui sotto è il disegno della proiezione nello spazio tridimensionale dell’insieme dei punti e degli spigoli del pentatopo.

Tetra14

Sapendo che il punto al centro va pensato come spostato lungo l’asse w, e considerando che si tratta di una proiezione sullo spazio xyz, vediamo che ci sono 5 tetraedri, uno per ognuna delle facce triangolari esterne che convergono verso il punto centrale e uno esterno, piegati nelle quattro dimensioni per costituire - attenzione - la superficie, o meglio, l’ipersuperficie del pentatopo, non il suo interno.

Analogamente si vede che ci sono 6 facce triangolari interne e 4 esterne (per un totale di 10 facce), 10 spigoli e 5 vertici.

La prima figura dell’articolo non è davvero un tetraedro, ma la proiezione a due dimensioni dello scheletro di un tetraedro. Invece l’insieme delle sue facce è la superficie del tetraedro. 

 Quindi se vogliamo essere più precisi dovremmo dire che questa figura è la proiezione bidimensionale della proiezione tridimensionale dello scheletro della superficie di un pentatopo. Bello, no?

Così come la superficie di un tetraedro viene aperta e disposta su un piano, come abbiamo visto prima, si può “tagliare” l’ipersuperficie di un pentatopo per ruotare attorno a quattro delle sue facce triangolari quattro dei cinque tetraedri per disporli sullo spazio, nelle tre dimensioni. La figura seguente mostra un pentatopo “aperto” in questo modo. Un simile solido può essere facilmente realizzato con cinque tetraedri uguali (o con cinque dadi da 4...) scegliendone uno da porre al centro e incollandone un altro su ogni sua faccia.

A costo di prolungare l’articolo oltre il sopportabile, non posso esimermi dal dire che si può estendere il discorso alle dimensioni superiori in maniera del tutto analoga, aggiungendo sempre un punto al centro e spostandolo lungo l’ennesimo asse della quantità giusta. Nella quinta dimensione lo scostamento dovrebbe essere pari a 2/5√17, per avere sempre gli spigoli di lunghezza 2.

Procedendo per analogie, possiamo ora stilare una tabella dei solidi n-dimensionali analoghi del tetraedro che elenchi il numero dei suoi componenti.

Tetratab

Nella tabella sono elencati gli elementi presenti per ogni figura di dimensione n per le prime 7 dimensioni.

Nella dimensione 0 abbiamo 1 punto e nient’altro. Nella dimensione 1 abbiamo 2 punti e uno spigolo. In due dimensioni ci sono 3 punti, 3 spigoli e un triangolo. Nella terza dimensione siamo al nostro caro tetraedro, con 4 punti, 6 spigoli, 4 facce triangolari e un tetraedro.

Si prosegue così, aggiungendo le colonne delle figure di dimensione n-esima. Non c’è bisogno di visualizzare o disegnare queste figure nelle dimensioni superiori per estendere la tabella. Infatti, osservando la tabella, ma anche con considerazioni geometriche, notiamo che il numero di punti è pari a quello delle dimensioni aumentato di 1, dato che ad ogni dimensione si aggiunge un punto. Il valore di tutte le altre caselle si ottiene in maniera del tutto simile al triangolo di Pascal, ogni casella è pari alla somma dei valori della casella sopra e di quella sopra e una colonna a sinistra. E qui chiudo il discorso sulle dimensioni, nonché l’intero articolo. Saluti a tutti.

 

Remo Di Loreto

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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2 commenti

  • Link al commento Remo Di Loreto Martedì, 19 Gennaio 2016 13:09 inviato da Remo Di Loreto

    Ciao Marco,
    sì, naturalmente, arrivati al cubo, sarà inevitabile parlare anche dei tesseratti.
    Immagino che ci siano persone che sono tentate di abbandonare presto la lettura di questo tipo di articoli, purtroppo non saprei come aiutarle. In parte cerco già di farlo mettendo cose curiose o divertenti, come i contenitori di latte, i chiodi, i frangiflutti, le formine di pane, ecc.
    Ciao e grazie.

  • Link al commento Marco Giovedì, 14 Gennaio 2016 02:15 inviato da Marco

    Stai per parlare di un Tesseract?
    No perchè l'articolo è stupendo, e pare tu voglia arrivare proprio lì!

    Complimenti e, ricordaTi, che se mia madre lo legge lo abbandona alla terza riga (non ti chiedo una modifica, ti dico solo:fagli capire qualcosa... Falli arrivare almeno alla decima rigaaaa!!!!!)

    Un gran salu

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