Introduzione (abstract)

Quella che si vede nella figura di apertura, tratta dalla nostra rubrica NeoNews, è l'evoluzione nel numero di asteroidi "Near Earth" nel tempo, in funzione della loro magnitudine assoluta H e quindi delle loro dimensioni. Con il passare degli anni, si nota che la parte sinistra del grafico, contenente oggetti più grandi e luminosi, si è andata riempiendo per prima ed ha ormai raggiunto la saturazione; nella parte centrale, che è quella in crescita più rapida nell'ultimo decennio, si è palesata una sorta di distribuzione a due picchi di cui il primo, ultimamente, si sta trasformando in un "plateau" pianeggiante; sulla destra, infine, ci sono gli oggetti più piccoli, quelli che si stanno scoprendo soprattutto negli ultimi anni e il cui numero reale è destinato a crescere vertiginosamente sul lungo periodo, facendo praticamente scomparire anche il picco di destra; questo perchè essi sono solo la punta dell'iceberg di una famiglia numerosissima, che conta decine di milioni di membri ma che, per fortuna, non pone una reale minaccia per noi che siamo protetti dall'atmosfera terrestre!

 Una domanda fondamentale a cui rispondere riguarda la completezza dell'indagine finora svolta, ovvero quella che è la distribuzione attualmente osservata rispetto a quella reale o "finale". Ci chiediamo anche come si evolverà in futuro la distribuzione degli oggetti noti. In risposta, viene presentato un metodo empirico elaborato dal sottoscritto e basato sull'andamento recente delle scoperte, estrapolato tramite modelli di curve logistiche. I risultati vengono messi a confronto con quelli riportati precedentemente in letteratura.

 

Definizioni e precisazioni

La famiglia di oggetti vicini alla Terra, i cosiddetti NEO (Near Earth Objects), è caratterizzata dall'avere distanze al perielio inferiore a 1,3 au. Essa comprende sia comete (NEC) che asteroidi (NEA appunto). La prima categoria è decisamente poco popolata, con poco più di un centinaio di comete a breve periodo; pertanto, non la prenderemo in considerazione in questa sede. La seconda famiglia, invece, viene ulteriormente suddivisa in sottocategorie (Atira, Aten, Apollo e Amor) sulla base di dove cadono le distanza minima e massima dal Sole rispetto all'orbita terrestre; molte di queste orbite, attualmente, non incrociano l'orbita terrestre e non costituiscono, quindi, una minaccia reale. Invece, particolarmente importante per il rischio che pongono nel futuro immediato è la sotto-categoria PHA (Potentially Hazardous Asteroids), costituita da tutti gli asteroidi con diametro nominale superiore ai 140 metri e che incrociano realmente l'orbita della Terra; più precisamente, essi devono avere H≤22,0 e una "Minimum Orbit Intersection Distance" (MOID) ≤ 0.05 UA rispetto all'orbita terrestre.

 Va sottolineato che la stima delle dimensioni è normalmente basata sulla semplice magnitudine assoluta H, facendo l'assunzione che l'oggetto abbia una riflettività (albedo) tipica, pari al 14%; in realtà, grazie alle misure di diametro fatte su un numero molto limitato di oggetti con metodi più affidabili (come la eco radar o l'emissione termica infrarossa), sappiamo che la stima precedente può oscillare di un fattore 2 o 3 rispetto al diametro nominale, a causa delle forti differenze di albedo; questo viene illustrato nella seguente Fig.2.

H v diam

Fig.2) Data Source: https://cneos.jpl.nasa.gov/ - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

 

Il metodo utilizzato

 Per effettuare lo studio, sono partito da una estrazione dati su tutti i NEA riportati in CNEOS tramite la pagina dedicata allo scopo. Il nome provvisorio (Primary Designation) contiene anche l'indicazione dell'anno della scoperta, sulla quale mi sono basato nello studio dei trend storici di scoperta. Il database di partenza, aggiornato ai primi di luglio, contiene ben 24667 oggetti NEA; essi sono stati suddivisi in classi sulla base della magnitudine assoluta, utilizzando intervalli (bin) con ampiezza ‌ΔH=0,5, arrotondando al valore centrale più vicino. La stessa suddivisione è usata normalmente nello studio della popolazione NEA ed è quella adottata nel grafico di apertura; essa corrisponde a una riduzione nel diametro nominale del 20,5% passando da una classe a quella successiva di magnitudine crescente.

 L'idea è quella di interpolare ed estrapolare l'andamento temporale delle scoperte in ogni classe di magnitudine/dimensione, assumendo che esso obbedisca a una curva caratteristica e celebre, detta logistica. Questa si applica alle situazioni in cui c'è un incremento iniziale di tipo esponenziale, che poi tende a rallentare diventando lineare e infine satura verso un valore limite, tutte caratteristiche effettivamente osservate nel caso dei NEA. L'equazione logistica alla base del suddetto comportamento è la seguente:

 Equazione Logstica

dove la costante  (indicata anche con R) definisce il tasso di crescita, mentre K rappresenta il termine asintotico e q = e r Q , con Q pari all'anno mediano in cui la funzione raggiunge metà del valore finale di saturazione K.

 A questo punto, la procedura corretta dal punto di vista statistico sarebbe quella di ricavare i valori più probabili dei parametri K, r e Q applicando il metodo dei minimi quadrati, per ridurre il più possibile la discrepanza tra il modello logistico e la curva osservata. Tuttavia, si è preferito procedere in via qualitativa, giudicando visualmente l'accordo tra le due curve e privilegiando la porzione più recente di entrambe; questo perchè l'efficienza della ricerca NEA è sensibilmente migliorata negli ultimi anni, specialmente a partire dal 2015; di conseguenza, la curva reale è a rigore il frutto della combinazione di diverse curve logistiche che si avvicendano nel tempo, con tasso di crescita in aumento. Come illustrato nei quattro esempi sottostanti, l'accordo tra il modello (curva rossa) e i dati (in blu) è comunque molto buono soprattutto nell'ultimo periodo, confermando la bontà delle ipotesi fatte; questo è specialmente vero per le categorie di oggetti più luminosi (in alto a sinistra, H=17) che sono già in regime di saturazione.

Logistica esempi s

Fig.3) Andamento cumulativo degli oggetti osservati in quattro diverse classi di luminosità, messo a confronto con il migliore fit logistico (curve rosse) - Data Source:https://cneos.jpl.nasa.gov/ - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

Il fatto che, nelle rimanenti curve riportate in Fig.3, il valore reale sia inizialmente al di sotto di quello teorico è la conferma di quanto detto in precedenza, ovvero che negli anni passati l'efficienza di ricerca era inferiore e quindi la velocità della curva logistica era più bassa. In tutte le interpolazioni si è cercato di far coincidere il più possibile le due curve in corrispondenza dell'anno 2021.

 

I risultati

 Il diagramma qui sotto mostra l'andamento di due dei tre parametri caratteristici (r e Q) nella famiglia di curve logistiche ottimali, al variare della magnitudine H (la terza curva in blu verrà spiegata invece nel paragrafo successivo). La velocità di crescita r oscilla intorno a 0,2 (tempo caratteristico di 5 anni), con un avvallamento al centro e un innalzamento agli estremi; questa modulazione potrebbe essere legata a una serie di fattori sistematici che ostacolano in qualche modo la rilevazione di oggetti di dimensioni medie. Invece la curva di Q (anno mediano) esibisce un andamento crescente piuttosto regolare, come ci si aspetta per effetto del progressivo aumento in sensibilità dei telescopi e dei sensori impiegati nelle rassegne di ricerca (Survey); da essa si deduce che nel 2005 avevamo classificato metà degli oggetti con H=18 mentre, a settembre dell'anno scorso, questo obiettivo era stato raggiunto per la categoria H=20,5; per gli oggetti intorno ad H=24, invece, dovremo aspettare il 2045, almeno con l'attuale velocità di rilevamento!

logistica parametri2

Fig.4) Andamento dei parametri r e Q in base al fit - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

 I due grafici seguenti illustrano gli andamenti teorici estrapolati fino al 2070, sia in scala lineare che logaritmica; di fatto, si tratta dell'estrapolazione di quanto mostrato in Fig.1, con l'avvertenza che, dato l'evolversi delle tecnologie di survey, i tempi subiranno certamente un accorciamento riguardo a quanto prospettato.

logistica plin

Fig.5) andamento delle scoperte in futuro (scala lineare) - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

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Fig.6) andamento delle scoperte in futuro (scala lineare) - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

 

Confronto con la letteratura

 Andiamo a confrontare questi risultati con le stime ufficiali, come quella pubblicata nel 2017 dalla NASA e che riportiamo di seguito.

logistica NASApop

 Fig.7) Credits: NASA

 Qui la curva in verde e quella azzurra esprimono, rispettivamente, le stime aggiornate e corrette dalla popolazione nota all'epoca e della popolazione complessiva stimata sulla base del tasso di scoperte. Si noti come quest'ultima curva presenta un "ginocchio" con un deciso cambio di pendenza intorno ad H=22, dove la popolazione di oggetti deboli cresce più rapidamente in funzione della magnitudine; questo "cambio di marcia" corrisponde, di fatto, al "plateau" nella distribuzione attuale e coincide anche con la soglia per la definizione della categoria PHA.

logistica saturazione 

 Fig,8) confronto tra i valori finali di saturazioni previsti nel 2017 e quelli del presente lavoro (in rosso) - Data processing and Plot: Marco Di Lorenzo

 La figura 8 mostra, con dei rombi rossi, l'andamento del parametro K (saturazione o popolazione completa) stimato con il metodo qui presentato e messo a confronto con il trend precedente della NASA. l'accordo è inevitabilmente buono per oggetti luminosi (H<22) mentre per quelli piccoli i valori qui stimati risultano leggermente più bassi rispetto al modello ufficiale del 2017, anche se il divario scompare all'estremo del grafico (H>28); il quoziente tra le due quantità mostra meglio le differenze ed è riportato nella Fig.4 (curva blu). La tabella seguente riporta i dati numerici e anche la percentuale di completamento attuale della survey (rappresentata in azzurro nella Fig.8).

Tabella

Fig.9) tabella con i parametri sulle varie categorie di magnitudine/luminosità (sulle colonne)

 Onde evitare confusione, si ricordi che queste quantità si riferiscono alla distribuzione DIFFERENZIALE (per intervalli di luminosità) e non alla distribuzione CUMULATIVA, utilizzata più spesso e che riguarda invece la somma di più classi o intervalli; ovviamente quest'ultima, fissata la magnitudine limite, raggiunge i traguardi di completezza in anticipo rispetto alla distribuzione differenziale perchè include anche la conoscenza delle classi precedenti e più luminose. Ad esempio, la fatidica catalogazione degli oggetti PHA (che hanno magnitudine assoluta H≤22.0), sulla base della tabella riportata qui sopra, raggiungerà il 50% di completezza entro quest'anno (circa 10000 oggetti noti su un totale stimato di 20000); invece, per conoscere la metà degli oggetti nell'intervallo H≈22 (che in realtà cadono tra le magnitudini 21,75 e 22,25 e quindi si spingono anche un po' oltre la definizione di PHA) bisognerà aspettare il 2033 alla velocità di catalogazione attuale. 

 

Conclusioni

Il metodo qui presentato non è certo rigoroso ma mostra efficacemente quale sia l'andamento caratteristico delle scoperte sui NEA, che obbediscono a una curva logistica "dinamica", cioè soggetta a modifiche con il progredire dei metodi di indagine. Esso risulta in buon accordo con altre stime nel valutare il grado di completezza del catalogo attuale e fornisce quindi indicazioni affidabili, anche se di massima, su quella che dovrebbe essere la tendenza delle scoperte future.