Lunedì 29 Maggio 2017
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Dadi e solidi platonici: ultima parte (icosaedri)

Saluti a tutti. Eccoci arrivati all’articolo sul quinto ed ultimo solido platonico, l’icosaedro. Diciamo ultimo avendo ordinato i cinque solidi secondo il numero di facce.

[articolo trasposto su questo blog da Marco Di Lorenzo]

 

 Prima di entrare nei dettagli ed effettuare i doverosi calcoli per ottenere la costruzione esatta del solido, mostriamo una sua immagine, realizzata come di consueto con PoV-Ray.

Ico1

 L’icosaedro ha 20 facce triangolari, mentre i suoi vertici sono 12, gli stessi due numeri che avevamo riscontrato per il dodecaedro, ma invertiti tra loro. Anche questo lo sapete già, dato che avevamo già detto che questi due solidi sono l’uno il duale dell’altro. In futuro penso che farò un articolo espressamente dedicato ai solidi duali, che dovrebbe consentirci di esplorare delle disposizioni geometriche molto graziose e intriganti.

 Gli spigoli dell’icosaedro sono invece 30, stesso numero di quelli del dodecaedro, e deve essere necessariamente così, dato che la relazione di Eulero deve comunque essere soddisfatta: F + V - S = 2. Per chi non avesse letto i precedenti articoli spieghiamo che F è il numero di facce, V il numero di vertici ed S il numero di spigoli del solido. In questo caso 20 + 12 - 30 = 2. Se F e V vengono solo scambiati tra di loro, necessariamente S dovrà restare invariato. Lo stesso accade per cubo ed ottaedro, che si scambiano i numeri 6 ed 8 di facce o vertici ed hanno entrambi 12 spigoli.
 Un altro modo per calcolare quanti spigoli abbia l’icosaedro consiste nell’osservare che le sue 20 facce sono triangoli equilateri e condividono ogni spigolo a coppie, quindi il calcolo del numero di spigoli può essere anche eseguito come S = 20 × 3 / 2 = 30. Infine, in ogni vertice si incontrano 5 spigoli quindi, ancora una volta, S può essere calcolato così: S = 12 × 5 / 2 = 30.
 Le cinque facce attorno ad un vertice formano una graziosa piramide a base pentagonale che, se non erro, è anche un simbolo di una casa automobilistica. Il perimetro di ognuna di queste piramidi è quindi un pentagono, e di tali pentagoni ce ne sono 12... suona familiare?
 Ma non perdiamoci in chiacchiere ed affrontiamo il discorso fondamentale, ovvero come calcolare le coordinate esatte dei vertici dell’icosaedro.
 Il primo metodo è molto semplice e consiste nel calcolare le coordinate del centro di ognuna delle facce del dodecaedro, pari al valore medio dei 5 vertici di ogni faccia, che conosciamo esattamente, avendoli calcolati nell’articolo relativo. In effetti ho fatto proprio in questo modo per realizzare l’immagine che vi ho mostrato poco fa. Devo confessare però che non ho ricavato l’espressione esatta di ogni coordinata (sono 36 in tutto...), anche perché con le medie così calcolate non si ottengono dei vertici distanti dall’origine esattamente una unità, ma qualcosa in meno, perché i centri delle facce del dodecaedro sono più vicini all’origine rispetto ai vertici. Comunque in PoV-Ray ho semplicemente impostato le coordinate di ogni vertice pari alle somme delle coordinate degli opportuni cinque punti divise per 5. Se si vuole, si può utilizzare anche un’apposita funzione per normalizzare i punti (che, ricordiamo, sono equivalenti a vettori) ottenuti.

 Però così non sono contento, vorrei lo stesso trovare le espressioni esatte dei 12 vertici. Come si può fare? Proviamo ad utilizzare un metodo analogo a quello usato per il dodecaedro.

Ico2

 Modificando leggermente la scena mostrata prima, vediamo che uno dei vertici si trova in alto proprio sull’asse z e naturalmente vi si trova anche il vertice opposto, sul semiasse negativo. Per questioni di simmetria, i cinque vertici immediatamente “al di sotto” di quello in alto giacciono su un piano parallelo al piano Oxy, giacciono su una circonferenza e sono i vertici di un pentagono. Tutti i punti di questo pentagono e della circonferenza hanno lo stesso valore della coordinata z. Se poniamo pari ad 1 la distanza di ogni vertice dall’origine, il punto in alto e quello in basso avranno coordinate <0,0,±1>. Per determinare univocamente gli altri 10 vertici non ci occorre altro che il raggio di tale circonferenza oppure, equivalentemente, la coordinata z dei suoi punti. L’icosaedro è stato anche disposto in modo tale che uno dei cinque punti in oggetto si trovi esattamente sopra l’asse x (quello rosso in figura), come avevamo fatto per il dodecaedro. In questo modo i calcoli effettuati per il pentagono la volta scorsa (ricorderete certamente) ci daranno subito il risultato finale non appena trovato il raggio della circonferenza e quindi la sua z. Possiamo quindi impostare delle equazioni secondo una singola variabile. Chiamiamo R tale raggio ed A il valore di z vale la relazione:

Icof1

 Chiamiamo poi S la lunghezza di ogni spigolo dell’icosaedro. Per ottimizzare l’analisi, osserviamo che il punto situato sulla verticale dell’asse x, di coordinate <R,0,A> è collegato con uno spigolo col punto in alto e quindi la distanza da esso è uguale a S, pari anche al lato del pentagono, che sappiamo essere 

Icof2

quindi:

Icof3

mentre il quadrato della distanza tra i due punti menzionati, calcolato col teorema di Pitagora è:

Icof4

Icof5

Quindi i due possibili risultati dell’equazione sono:

 Icof6

Il risultato finale è dunque :

Icof7

e possiamo esplicitare le coordinate di tutti i 12 vertici:

Ico6

 E questo era il primo metodo. Per vostra somma gioia però ne ho trovato un altro, ed è ancora più semplice. Ruotando l’icosaedro, come lo abbiamo costruito finora, attorno all’asse y per un angolo pari all’arcotangente di φ (il rapporto aureo), otteniamo la disposizione che potete vedere nella figura più avanti.

 Sei spigoli dell’icosaedro sono a coppie paralleli a uno degli assi cartesiani, quindi ortogonali agli altri due. Nella figura qui sotto a sinistra, questi sei spigoli sono stati evidenziati con dei cilindri di raggio maggiore e col colore dell’asse al quale sono paralleli, rosso per l’asse x, verde per l’asse y, blu per l’asse z. Notiamo inoltre che nel punto medio di ognuno di questi spigoli passa uno degli assi cartesiani. In questo modo tutti i 12 vertici sono accomunati da questa proprietà e dovrebbe essere abbastanza semplice determinare le loro coordinate.

Ico3

 Se abbandoniamo per il momento la richiesta che la distanza di ogni vertice dall’origine sia pari a 1, possiamo assegnare questa distanza al punto medio dei sei spigoli. In questo modo nel problema è presente una sola variabile, la lunghezza degli spigoli. Chiamiamo L la metà di tale lunghezza (quindi ogni spigolo sarà lungo 2L) e impostiamo un’equazione che uguagli questa quantità alla distanza di due vertici primi vicini che non siano dello stesso spigolo tra quelli colorati. Ad esempio prendiamo dallo spigolo verde in alto il vertice posizionato sopra il semiasse +y (di coordinate <0,L,1>) e dallo spigolo rosso a destra il vertice con x positiva, quindi quello a sinistra, di coordinate <L,1,0>.

Icof9

 Ancora una volta troviamo il rapporto aureo o meglio, il suo inverso. Questo vuol dire che ogni coppia di spigoli dello stesso colore definisce un rettangolo con i lati lunghi 2 e 2/φ, cioè dei rettangoli aurei! Li vediamo meglio nella figura precedente, a destra.

Gli stessi tre rettangoli naturalmente possono essere trovati  considerando i centri delle facce del dodecaedro (figura seguente).

Ico4

 Prima di chiudere, forniamo le coordinate esplicite dei 12 vertici così calcolati

<±1/φ, ±1, 0>

<0, ±1/φ, ±1>

<±1, 0, ±1/φ>

una rappresentazione piuttosto compatta, come potete constatare.

 

 Terminiamo qui l’articolo, ma come ultimo contributo, allego un’immagine dello sviluppo piano dell’icosaedro da ritagliare e piegare per realizzarne uno in cartoncino.

Ico5

Ciao.

 

12f13

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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