Mercoledì 20 Settembre 2017
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Dadi e solidi platonici: 4a parte (Ottaedri)

Dopo una pausa di oltre 4 mesi, eccoci qua con un nuovo articolo sui solidi platonici: quello di turno è l’ottaedro.

 Stiamo andando in ordine secondo il numero delle facce, infatti abbiamo già pubblicato gli articoli relativi al tetraedro e al cubo.

 Ho un po’ di timore per il fatto che sarà complicato trovare abbastanza cose da dire sull’ottaedro. Non si può proprio fare un paragone col cubo, per i motivi tante volte già detti. Sarà quel che sarà.

 L’ottaedro regolare è un solido platonico la cui superficie è formata da triangoli equilateri, cosa che accade anche col tetraedro però, mentre in quest’ultimo si incontrano tre triangoli in ogni vertice, attorno ai vertici dell’ottaedro ne troviamo quattro. Questa cosa rende già sensibilmente diverso l’aspetto delle due figure, anche considerandone solo un pezzetto nei pressi di un vertice.

 Una cosa che invece accomuna questi due solidi è che, se consideriamo solo lo scheletro, la struttura è di per sé rigida, ovvero non è possibile modificare la posizione relativa dei vertici (a meno di rotazioni di tutta la figura nello spazio) se si considerano indeformabili i segmenti che li uniscono. Voglio spiegarmi meglio. Tutti sappiamo che in un poligono di quattro o più lati, formati da oggetti solidi indeformabili - ad esempio stuzzicadenti, barrette di metallo, ecc. -  questi possono essere mossi variando gli angoli del poligono, anche rimanendo vincolati in un piano. Invece con tre soli lati la figura è rigida. In base a questo principio, i tralicci e le gru sono costruiti con barre di metallo lungo il perimetro delle facce superficiali, suddividendo poi le facce in triangoli.

 Per le figure tridimensionali è più complicato, anche se, naturalmente, nel caso in cui un solido sia formato da tutte facce triangolari, lo scheletro è chiaramente rigido. Infatti lo sono quelli del tetraedro, dell’ottaedro e dell’icosaedro, mentre quelli del cubo e del dodecaedro no.

 Quindi possiamo tranquillamente affermare che l’ottaedro è univocamente determinato dalla lunghezza dei suoi spigoli, cosa che del resto vale per tutti i solidi platonici.

 E allora, dato che abbiamo aspettato fin troppo e sarebbe difficile tenere a freno l’impazienza di chi legge, chiediamoci: come si fa a determinare le coordinate dei suoi sei vertici? Be’, se volessimo proprio divertirci, potremmo metterci a fare tutti i conti con le nostre care radici quadrate e la trigonometria, però in realtà c’è una disposizione dei vertici praticamente banale. Le coordinate dei vertici sono:

<±a,0,0>, <0,±a,0>, <0,0,±a>

ovvero, per ognuno dei tre assi x, y, z, abbiamo un vertice sul semiasse negativo e uno su quello positivo, equidistanti dall’origine. Nella prima figura possiamo vedere i sei vertici con questa disposizione (in prospettiva)1.

Otta3

 Se tale immagine non fosse abbastanza chiara, diamo un’occhiata alla figura qui sotto, nella quale ho rappresentato gli spigoli dell’ottaedro con dei cilindri viola. Se la distanza tra ogni vertice e l’origine è pari ad a, come scritto sopra, è facile ricavare che la lunghezza degli spigoli dell’ottaedro2 è pari a √2∙a. Ogni vertice ha quattro primi vicini, che sono tutti gli altri vertici, escluso quello “gemello” sullo stesso asse.

Otta4

 Con l’ottaedro messo così, ognuna delle otto facce triangolari giace su un piano il cui vettore normale è della forma <±1,±1,±1>, ovvero un vettore passante “al centro” di un ottante, cioè forma lo stesso angolo con ognuno dei tre semiassi. In pratica, possiamo dire che l’intero ottaedro è formato da tutti quei punti dello spazio tali che |x|+|y|+|z|≤a. Il segno uguale vale per i punti sulla superficie dell’ottaedro.

 Ognuno dei tre piani Oxy, Oxz, Oyz divide l’ottaedro in due parti uguali e la sezione è un quadrato con i lati orientati a 45° rispetto agli assi. In pratica lo scheletro dell’ottaedro è formato da tre quadrati (il perimetro di essi). 

 Detto tutto ciò, non stupisce adesso il discorso sui solidi duali. Come abbiamo detto in passato, il solido duale del tetraedro regolare è lo stesso tetraedro, anche se orientato diversamente. Invece il solido duale del cubo è l’ottaedro e viceversa. Se prendiamo il centro di ognuna delle facce dell’ottaedro (nel nostro caso sono i punti <±a/3,±a/3,±a/3>) vediamo subito che sono disposti come i vertici di un cubo. Viceversa, i centri delle facce di un cubo il cui spigolo ha lunghezza pari a 2∙a, sono esattamente i vertici dell’ottaedro indicati all’inizio.

 Nel caso di solidi regolari come i solidi platonici, posizionati in maniera simmetrica rispetto all’origine, il centro di ogni faccia coincide con l’intersezione tra la faccia stessa e una retta ad essa ortogonale passante per l’origine. Questa situazione favorisce in maniera particolare quanti volessero realizzare un solido con PoV-ray, in quanto nell’SDL (Scene Description Language, il linguaggio col quale vengono descritti tutti gli elementi e le scene in PoV-ray) la definizione di un piano avviene specificando il vettore normale al piano, con verso che punta verso la parte “vuota” dello spazio, e la distanza dall’origine, nella forma plane{vettore,distanza}. Prima di andare avanti, vorrei solo specificare che in SDL non c’è differenza formale tra vettori e punti dello spazio. Un punto di coordinate <a,b,c> viene considerato coincidente con il vettore di componenti <a,b,c>.

Otta5

 Detto ciò, vediamo che è facilissimo definire, ad esempio, un cubo di spigolo lungo 2 unità, nel modo seguente (allego sopra l’immagine del cubo con l’aggiunta di 6 sferette nei punti corrispondenti ai vettori):

#declare Cubo=
 intersection
 {
  plane{<-1, 0, 0>,1}
  plane{< 1, 0, 0>,1}
  plane{< 0,-1, 0>,1}
  plane{< 0, 1, 0>,1}
  plane{< 0, 0,-1>,1}
  plane{< 0, 0, 1>,1}
 }

Come potete vedere, sono indicati i 6 piani contenenti le facce del cubo secondo l’orientamento dei vettori ad esse normali. Non vi dicono nulla questi 6 vettori? Ebbene sì, sono esattamente coincidenti con le coordinate dei vertici dell’ottaedro, supponendo a pari a 1.

Otta6

A questo punto è ovvio che l’ottaedro può essere definito così:

#declare Ottaedro=
 intersection
  {
   plane{<-1,-1,-1>,sqrt(3)}
   plane{<-1,-1, 1>,sqrt(3)}
   plane{<-1, 1,-1>,sqrt(3)}
   plane{<-1, 1, 1>,sqrt(3)}
   plane{< 1,-1,-1>,sqrt(3)}
   plane{< 1,-1, 1>,sqrt(3)}
   plane{< 1, 1,-1>,sqrt(3)}
   plane{< 1, 1, 1>,sqrt(3)}
  }

 Chiaramente gli otto vettori indicati coincidono con i vertici del cubo. Dopo la virgola ho messo il valore √3 per fare in modo che i piani passino proprio sui punti, altrimenti l’ottaedro sarebbe stato più piccolo. Col valore 1 sarebbe venuto come nella figura qui sotto.

Otta7

 Vediamo ora come si presenta l’intersezione tra un cubo e un ottaedro, variando le dimensioni di quest’ultimo. Qui c’è una successione di 9 immagini nella quale la grandezza dell’ottaedro varia dal valore minimo, nel quale non c’è più il cubo, al valore massimo nel quale c’è solo il cubo. Il valore medio (quinta immagine) è quello per il quale si ha il solido chiamato cubottaedro, nel quale le facce triangolari giacenti sui piani dell’ottaedro e quelle quadrate del cubo si incontrano in 12 punti comuni, corrispondenti ai punti centrali sia degli spigoli del cubo che di quelli dell’ottaedro. Chiaramente ora abbiamo appena sentenziato che gli spigoli dell’ottaedro sono 12, infatti è così. In realtà lo avevamo detto tra le righe anche prima. Naturalmente possiamo anche stavolta verificare che la relazione di Eulero (F+V-S=2) è soddisfatta, infatti 8+6-12=2.

Otta88

 Diamo qualche accenno alla questione relativa alla forma che assume il generico “ottaedro” in più dimensioni, per meglio dire, ciò che può essere considerato l’analogo dell’ottaedro in dimensioni inferiori e superiori allo spazio tridimensionale. Chiarisco subito una cosa: il concetto di “generico ottaedro” qui espresso è una cosa mia personale, non è qualcosa che sono andato a studiarmi prima, quindi se volete sapere qualcosa di rigoroso dal punto di vista matematico relativamente agli spazi dimensionali superiori dovete consultare qualche testo specifico.

 Per massimizzare il nostro divertimento, iniziamo come di consueto dallo spazio di dimensione 0. Abbiamo un singolo punto. E fin qui ci siamo, direi che di difficoltà serie non ne incontriamo.

 Passando subito allo spazio monodimensionale (fig.1 sottostante), l’ottaedro consiste in una coppia di punti equidistanti dall’origine, quindi il punto <-a> e il punto <+a>2. Anche qui nessuna difficoltà, del resto con così poche dimensioni...

Otta9a

 Nello spazio bidimensionale le cose iniziano a farsi interessanti. Come procediamo? Il concetto è che bisogna aggiungere una coppia di punti, posizionati nel nuovo asse appena introdotto, in modo tale che essi siano equidistanti con gli altri punti della figura precedente (nello spazio della dimensione appena inferiore). In questo caso quindi avremo i due punti precedenti: <-a,0>, <+a,0> e i due nuovi punti <0,-a>, <0,+a>. Ognuno dei nuovi punti deve essere collegato con uno spigolo ad ognuno dei precedenti. Nella figura 2 possiamo vederlo bene.

Otta9b

 Per lo spazio tridimensionale il procedimento è lo stesso. Aggiungiamo un nuovo asse, chiaramente il terzo, denominato generalmente asse z, e una nuova coppia di punti equidistanti dall’origine e anche da ognuno dei quattro punti della precedente figura, ottenendo in totale 6 punti di coordinate <±a,0,0>, <0,±a,0>, <0,0,±a>, come abbiamo visto anche all’inizio. Ognuno dei nuovi punti viene collegato con ognuno dei quattro punti preesistenti con uno spigolo. Anche la relativa figura l’abbiamo mostrata sopra.

 Ora il punto cruciale è il passaggio alle quattro dimensioni. Procedendo nello stesso modo, aggiungiamo un quarto asse (w) delle coordinate, una nuova coppia di punti equidistanti dall’origine, ottenendo in tutto 8 punti, con le seguenti coordinate:

<±a,0,0,0>, <0,±a,0,0>, <0,0,±a,0>, <0,0,0,±a>

dove i punti aggiunti ora sono chiaramente gli ultimi due. Naturalmente essi sono equidistanti con tutti i precedenti 6 punti. Naturalmente vengono aggiunti 12 nuovi spigoli, 6 per ognuno dei due nuovi punti collegati con i precedenti.

 Per mostrare la figura, questa volta ho scelto di prenderla da Internet, in questo caso da Wikipedia (potete trovare queste cose e molto di più a questo link):

 16 cell

Di JasonHise di Wikipedia in inglese - Trasferito da en.wikipedia su Commons., Pubblico dominio,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1809706

 L'animazione mostra un iperottaedro o meglio, come ormai ben sappiamo, l’immagine che rappresenta la proiezione dello scheletro di un iperottaedro nello spazio tridimensionale. Ciò che vedete qui non corrisponde alla posizione originale degli 8 vertici come li abbiamo descritti sopra, perché si tratta di un’immagine gif animata, che mostra un iperottaedro rotante.

 Abbiamo detto che l’ottaedro quadridimensionale ha 8 vertici. Ma quanti spigoli, quante facce e quanti solidi avrà?

 Iniziamo dagli spigoli. Ogni vertice dell’iperottaedro è collegato con ognuno dei rimanenti, eccetto quello diametralmente opposto situato sullo stesso asse, quindi con 6 vertici. Avremo quindi 8×6/2=24 spigoli.

 Per quanto riguarda le facce, consideriamo che ognuno dei due punti aggiuntivi definisce una faccia triangolare per ognuno degli spigoli dell’ottaedro tridimensionale, che sono 12. Quindi i nuovi triangoli sono 24 e, sommati agli 8 dell’ottaedro, ci danno 32 facce triangolari in totale.

 Invece, per quanto riguarda i solidi, ovvero le iperfacce “superficiali” dell’iperottaedro, esse vengono definite dalle facce dell’ottaedro tridimensionale e da uno dei due punti aggiuntivi. Le facce dell’ottaedro sono 8 (bella forza...), quindi avremo 8 solidi per ognuno dei due punti aggiuntivi, ovvero 16 tetraedri. Infatti, come potete vedere anche dalla pagina di Wikipedia, l’iperottaedro si chiama anche “16-cella”, “esadecacoro” o “4-ortoplesso”.

 Arrivati a questo punto, non resta che introdurre la nostra amicissima matrice, che descrive questi elementi nel generico spazio n-dimensionale. Come di consueto, ogni riga introduce una dimensione in più, mentre nelle colonne compaiono gli elementi n-dimensionali che compongono l’ottaedro dello spazio di dimensione corrispondente alla riga.

 Come si riempie questa matrice? Questa volta la questione sembrerebbe più complicata rispetto alle corrispondenti tabelle dei tetraedri e dei cubi n-dimensionali. 

Ottable1

 Iniziamo riempiendo le caselle che conosciamo, ovvero fino alla quarta dimensione. Proseguiamo poi con la colonna dei punti, che contengono i valori pari consecutivi dato che, come abbiamo detto, il passaggio a una dimensione superiore comporta l’aggiunta di due nuovi vertici. Quindi la colonna “Punti” è facile. Anche la diagonale principale della matrice la conosciamo, essendo chiaramente composta da tutti valori 1. Resta il problema delle caselle rimanenti. Quale sarà la regola che stabilisce il loro valore?

 Un aiuto potrebbe fornircelo la parte di tabella già riempita, escludendo la prima colonna e la diagonale, ovvero i valori 4, poi 12 e 8, poi 24, 32 e 16. Stiamo cercando una combinazione lineare dei valori posizionati nelle righe precedenti, nella stessa colonna o in quella immediatamente a sinistra, che sia adatta a tutti questi valori. Non mi sembra che ne esista una. Si vede dal fatto che nelle caselle al di sotto della diagonale con i valori 1 ci sono i valori 2, 4, 8, 16, ..., il che fa pensare che in questa fila di caselle ci vada una progressione geometrica di ragione 2.

Ci viene in aiuto una parte della pagina di Wikipedia che calcola gli elementi dell’iperottaedro di dimensione 4:

 Come tutti i politopi, l'esadecacoro ha un certo numero di vertici, spigoli, facce...

  •  L'esadecacoro ha 8 vertici.
  • Ciascuna coppia di vertici, eccetto i vertici opposti, è collegata da uno spigolo: ci sono quindi 8*6/2 = 24 spigoli.
  • Ciascuna tripla di vertici a coppie non opposti determina una faccia: ci sono quindi 8*6*4/3! = 32 facce (triangolari).
  • Ciascuna 4-upla di vertici a coppie non opposti determina una 3-faccia: ci sono quindi 8*6*4*2/4! = 16 facce tridimensionali (tetraedri)

 Allora possiamo usare lo stesso metodo per le altre dimensioni.

Per n=5, ovvero nello spazio pentadimensionale, abbiamo 10 vertici, quindi:

  • gli spigoli saranno determinati da tutte le coppie di vertici non opposti, ovvero sono 10∙8/2!=40;
  • il numero delle facce è dato dalle triple di vertici a coppie non opposti: 10∙8∙6/3!=80;
  • solidi: quadruple di vertici a coppie non opposti: 10∙8∙6∙4/4!=80;
  • solidi quadridimensionali: quintuple di vertici a coppie non opposti: 10∙8∙6∙4∙2/5!=32

 Per n=6 abbiamo 12 vertici, quindi:

  • spigoli: coppie di vertici non opposti, ovvero 12∙10/2!=60;
  • facce: triple di vertici non opposti, ovvero 12∙10∙8/3!=160;
  • solidi: quadruple di vertici a coppie non opposti: 12∙10∙8∙6/4!=240;
  • solidi quadridimensionali: quintuple di vertici a coppie non opposti: 12∙10∙8∙6∙4/5!=192;
  • solidi pentadimensionali: sestuple di vertici a coppie non opposti: 12∙10∙8∙6∙4∙2/6!=64

 Procedendo in questo modo possiamo estendere a piacere la tabella:

Ottable2

 Non vi sarà certamente sfuggito il fatto che stiamo confermando che sotto la diagonale di 1 c’è una progressione geometrica delle potenze di 2 e ora l’ho proprio verificato rigorosamente. Infatti, per ogni valore di n, la casella di questa fila contiene il numero di n-uple di vertici a coppie non opposti e questo valore è pari alla produttoria di tutti i numeri pari da 2 a 2∙n, divisa per il fattoriale di n. È semplice vedere quindi che, semplificando ogni termine del fattoriale con il corrispondente al numeratore, si ottiene un fattore 2. Ad esempio, prendiamo proprio l’ultimo calcolo effettuato, quello dei solidi pentadimensionali che costituiscono l’ipersuperficie di un ottaedro esadimensionale:

Otta0

 Direi che mi posso ritenere soddisfatto... e voi?

 Remo Di Loreto

 

 articolo trasposto sul blog da Marco Di Lorenzo 

 

Note:

  1. Forse non è necessario specificarlo, ma le immagini le ho fatte con PoV-Ray...
  2. Facciamo una piccola digressione sul discorso del volume del solido in funzione della lunghezza dello spigolo e verifichiamo rigorosamente il fatto che il volume dell’ottaedro sia pari a 4 volte quello del tetraedro con spigolo uguale. Il volume dell’ottaedro così disposto è facilmente calcolabile pensandolo come formato da due piramidi a base quadrata. L’area del quadrato sul piano Oxy è pari a 2∙a2, l’altezza della piramide è a, il volume quindi è pari al prodotto dei due valori, diviso per 3 e moltiplicato per 2, ovvero V=4/3∙a3. Essendo la lunghezza L dello spigolo pari a L=√2∙a, il volume è V=4/3∙L3/(2∙√2)=L3√2/3.Per il tetraedro effettuiamo il calcolo del volume riprendendo la descrizione iniziale fatta nell'articolo dedicato. Lì avevamo L=√3, uguale al lato del triangolo di base, mentre l’altezza del triangolo di base è pari a 3/2=3/2∙L/√3 e l’altezza del tetraedro è uguale a √2=√2∙L/√3. Il volume del tetraedro è uguale dunque a V=L∙3/2∙L/√3/2∙√2∙L/√3/3= L3∙√2/12, esattamente pari a un quarto del volume dell’ottaedro.

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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