Mercoledì 23 Agosto 2017
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Dadi e solidi platonici

Solidi Platonici del parco Steinfurt, Bagno (Germania)
Solidi Platonici del parco Steinfurt, Bagno (Germania) Autore: Zumthie - Fonte: Wikipedia (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Platonische_Koerper_im_Bagno.jpg)

Buongiorno a tutti. Inizio il mio contributo alla rubrica "Ricreazioni matematiche e non solo" con un articolo riguardante i dadi e solidi platonici, che sono due delle cose che mi appassionano in ambito matematico.

Introduzione

 Per coloro che non li conoscessero, per solidi platonici si intendono le seguenti figure tridimensionali:

  •  tetraedro
  •  esaedro (o cubo)
  •  ottaedro
  •  dodecaedro
  •  icosaedro

intendendo quelli regolari. In ogni caso i dettagli li approfondiremo nel corso degli articoli futuri.

 E i dadi cosa c’entrano? Be’, la risposta è molto semplice: le forme dei dadi sono quelle dei solidi platonici! Immagino che ora in molti penseranno che i dadi sono semplicemente cubici ed effettivamente la stragrande maggioranza dei dadi comunemente intesi è costituita dai comuni dadi a sei facce, con i puntini indicanti i numeri da 1 a 6.  Si tratta dei dadi "classici", utilizzati  nel gioco dei dadi puro e semplice o come motore aleatorio in una grande varietà di  giochi, come il gioco dell’oca, Monopoli, Risiko, ecc. Meno diffusi, ma abbastanza conosciuti sono poi i dadi da poker, sempre cubici e recanti dei simboli di carte da poker, e quelli del backgammon, per i quali i numeri utilizzati sono 2, 4, 8, 16, 32 e 64,che sono sempre a sei facce.

 Ma non sono gli unici dadi esistenti, tutt’altro. Tutti e cinque i solidi platonici sono stati utilizzati fin dal remoto passato come forme di dadi con, quindi, un numero di facce diverso da sei. Abbiamo quindi anche i dadi da 4, da 8, da 12 e da 20 facce. Non sono comunque utilizzati solo per estrarre dei numeri a caso, e i dadi utilizzati nei moderni giochi, sia da tavolo che di ruolo – e qui non posso proprio esimermi dal menzionare il capostipite di tutti i giochi di ruolo, il famoso Dungeons & DragonsTM – non sono nemmeno limitati ai tipi summenzionati. Tra i tipi di dado finora esclusi sono di somma importanza quelli da 10 facce, indispensabili anche per controlli di probabilità, sebbene la loro forma non sia quella di un solido platonico.

 Parlando di dadi non ci limiteremo a descriverli a parole o con figure, ma parleremo anche di tutto ciò che è ad essi correlato, ad esempio argomenti di probabilità e frequenza relativa, come ottenere dadi diversi a partire da quelli di base e così via.  Infine,  come  vedremo  (speriamo  di  arrivare  così  lontano…) anche  nei  giochi  del  tipo  "Cubo  di RubikTM" e simili, i solidi platonici sono ricorrenti.

  Bene, siamo per ora giunti al termine di questa breve introduzione, ma ricordo che comunque l'argomento sarà ampliato nel corso dei futuri articoli. Buona lettura.

 

I cinque solidi platonici

Ed eccoci pronti ad affrontare il primo argomento, i cinque solidi platonici.
Cosa sono i solidi platonici, e perché sono cinque? Un solido è l’estensione alle tre dimensioni del concetto di poligono nelle due dimensioni. Un poligono è una figura piana delimitata da segmenti rettilinei, denominati lati, in numero variabile da 3 in su. Quindi abbiamo i poligoni a 3 lati, o triangoli, quelli a 4 lati o quadrilateri, quelli a 5 lati o pentagoni, e così via. Passando dal piano allo spazio, l’analogo del poligono è il poliedro, una figura tridimensionale delimitata da piani. La porzione di ognuno di questi piani appartenente al poliedro è detta faccia, l’unione delle facce costituisce la superficie del solido, mentre il segmento comune a due facce contigue si chiama spigolo. Infine i due punti estremi di ogni spigolo, appartenenti a tre (o più) facce sono i vertici del poliedro. Non vorrei annoiare chi queste cose le conosce benissimo, ma questi termini saranno fondamentali in seguito per poter dare le descrizioni e parlare delle proprietà di questi solidi in maniera più tecnica e dettagliata.
 Passiamo ora alla classe di poliedri che ci interessa. Prima di continuare, voglio specificare che molte delle cose che diremo qui sono tratte dalla raccolta di volumi "Enigmi e giochi matematici" di Martin Gardner (Sansoni editore), comunque la maggior parte di quello che scriverò e delle illustrazioni che saranno incluse in questa rivista è farina del mio sacco.
I poligoni regolari sono tutti quei poligoni con lati ed angoli interni uguali: triangolo equilatero, quadrato, pentagono (regolare), esagono, ettagono, ottagono e così via. Il numero di poligoni regolari naturalmente e come tutti sappiamo è infinito1. Bene, i solidi platonici sono l’analogo tridimensionale dei poligoni regolari, cioè i poliedri che hanno come facce dei poligoni regolari ed angoli al vertice interni (angoli solidi) uguali. Di conseguenza sono uguali tutti gli spigoli, gli angoli interni delle facce e gli angoli al vertice. Dato che i poligoni regolari sono infiniti, si potrebbe supporre che lo siano anche i poliedri regolari (o solidi platonici) ed invece il loro numero è tutt’altro che infinito1: è pari esattamente a cinque, un numero, come si espresse una volta Lewis Carroll, "piccolo in modo provocante".

La figura seguente mostra questi famosi cinque solidi: Figura 1a

 A rigore i nomi esatti di questi solidi sono tetraedro regolare, esaedro regolare (o cubo), ottaedro regolare, dodecaedro regolare e icosaedro regolare, per poter discriminare questi cinque particolari solidi dalle loro versioni più generali con spigoli ed angoli non uguali. Per intenderci, ad esempio, ogni solido a quattro facce è un tetraedro, ma naturalmente non è detto che sia regolare. Nel seguito però indicheremo solo il nome semplice senza specificare l’aggettivo "regolare", tranne nei casi in cui sarà necessario fare altrimenti.

Solidi Platonici

 Il primo studio sistematico dei cinque solidi platonici sembra sia stato fatto dagli antichi Pitagorici. Essi credevano che il tetraedro, il cubo, l’ottaedro e l’icosaedro fossero il substrato strutturale dei quattro elementi: rispettivamente fuoco, terra, aria e acqua, mentre il dodecaedro era identificato in maniera oscura con l’intero universo. Poiché queste nozioni furono elaborate nel Timeo di Platone, i poliedri regolari divennero noti come "solidi platonici". La bellezza e le affascinanti proprietà matematiche di queste cinque forme hanno assillato gli studiosi dai tempi di Platone sino a tutto il Rinascimento. L’analisi dei solidi platonici occupa il libro finale che costituisce il vertice degli Elementi di Euclide. Keplero credette per tutta la sua vita che le orbite dei sei pianeti noti ai suoi giorni potessero essere ottenute inserendo i cinque solidi in un dato ordine all’interno dell’orbita di Saturno. Oggi i matematici non guardano più ai solidi platonici con mistica riverenza, ma le loro rotazioni sono studiate in connessione con la teoria dei gruppi ed essi continuano ad esercitare un ruolo pittoresco nella matematica ricreativa.

 Rimandiamo a futuri articoli esempi di giochi matematici basati su questi solidi. Per adesso mi limito a mostrare un’immagine in ray-tracing (a proposito, parleremo diffusamente anche di ray-tracing all’interno della rubrica, essendo una delle mie principali occupazioni nel tempo libero, se non addirittura la principale) la cui realizzazione è stata ispirata proprio dall’associazione tra quattro dei cinque solidi platonici ed i quattro elementi: tetraedro–fuoco, cubo–terra, ottaedro–aria, icosaedro–acqua.

Dadi elementali

 

Note:
1: Vorrei utilizzare il termine infinito abbastanza liberamente ma senza rinunciare ad un minimo di rigore matematico. Ad esempio in questo contesto per infinito si intende che, dato un qualunque numero naturale N, esiste certamente un numero di poligoni regolari M>N. Nel seguito darò l’esplicitazione del termine se sarà necessario.

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Remo Di Loreto

Sono laureato in Fisica ed attualmente lavoro in un’industria di semiconduttori (principalmente sensori di immagine). I miei interessi principali nel tempo libero sono la grafica al computer, il rendering 3D, il disegno e pittura su carta o di miniature, la pirografia, le tecniche audio/video, la palestra, i film, soprattutto di genere fantastico e di animazione, la lettura di libri e fumetti, sia italiani che giapponesi e i giochi in generale, inclusi enigmi e giochi matematici.


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